2013_daganji_old
8．（5分）已知F<sub>1</sub>（﹣1，0）， $\mathsf { F } _ { 2 } \ ( 1 , \ 0 )$ 是椭圆C的两个焦点，过 $\mathsf { F } _ { 2 }$ 且垂直于 $\cdot _ { \mathsf { X } }$ 轴的直线交椭圆于A、B两点，且 $\vert A B \vert = 3$ ，则C的方程为（ ）
A $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 2 } + \mathbf { y } ^ { 2 } = 1$ B $\frac { x ^ { 2 } } { 3 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1$ C $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1$ D $\frac { x ^ { 2 } } { 5 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$
C
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】K3：椭圆的标准方程
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】设椭圆的方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$ ，根据题意可得 $\sqrt { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } = 1$ ．再由AB经过右焦点 $\mathsf { \Pi } _ { \mathsf { { F } } _ { 2 } }$ 且垂直于x轴且 $\vert A B \vert = 3$ 算出A、B的坐标，代入椭圆方程得$\frac { 1 ^ { 2 } } { \bar { \mathsf { a } } ^ { 2 } } + \frac { ( \frac { 3 } { 2 } ) ^ { 2 } } { \bar { \mathsf { b } } ^ { 2 } } = 1$ ，两式联解即可算出 $\mathtt { a } ^ { 2 } { = } 4$ $\ b ^ { 2 } = 3$ ，从而得到椭圆C的方程
【解答】解：设椭圆的方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$
可得 $\mathsf { c } { = } \sqrt { \mathsf { a } ^ { 2 } - \mathsf { b } ^ { 2 } } { = } 1$ ，所以 $\mathtt { a } ^ { 2 } \mathtt { - b } ^ { 2 } \mathtt { = } 1$ …①
$\because \mathsf { A l }$ B经过右焦点 $\mathsf { F } _ { 2 }$ 且垂直于x轴，且 $\vert A B \vert = 3$
∴可得A（1， $\frac { 3 } { 2 } )$ ，B（1， $- \frac { 3 } { 2 } )$ ，代入椭圆方程得 $\frac { 1 ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { ( \frac { 3 } { 2 } ) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$ ，…②
联解 $\textcircled{1} \textcircled{2}$ ，可得 $\scriptstyle \cdot a ^ { 2 } = 4$ $\ b ^ { 2 } = 3$
∴椭圆C的方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1$
故选：C
【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程．着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题