在三棱锥 P - ABC 中, 线段 PC 上的点 M 满…——2023 高考数学第 8 题答案解析

【答案】B

【解析】

【分析】分别过 $M, C$ 作 $MM' \perp PA, CC' \perp PA$ , 垂足分别为 $M', C'$ . 过 $B$ 作 $BB' \perp$ 平面 $PAC$ , 垂足为 $B'$ , 连接 $PB'$ , 过 $N$ 作 $NN' \perp PB'$ , 垂足为 $N'$ . 先证 $NN' \perp$ 平面 $PAC$ , 则可得到 $BB' // NN'$ , 再证 $MM' // CC'$ . 由三角形相似得到 $\frac{MM'}{CC'} = \frac{1}{3}$ , $\frac{NN'}{BB'} = \frac{2}{3}$ , 再由 $\frac{V_{P-AMN}}{V_{P-ABC}} = \frac{V_{N-PAM}}{V_{B-PAC}}$ 即可求出体积比.

【详解】如图，分别过 M, C 作 $MM' \perp PA, CC' \perp PA$ ，垂足分别为 $M', C'$ 。过 B 作 $BB' \perp$ 平面 PAC，垂足为 $B'$ ，连接 $PB'$ ，过 N 作 $NN' \perp PB'$ ，垂足为 $N'$ 。

因为 $BB' \perp$ 平面 PAC， $BB' \subset$ 平面 $PBB'$ ，所以平面 $PBB' \perp$ 平面 PAC。

又因为平面 $PBB' \cap$ 平面 $PAC = PB'$ ， $NN' \perp PB'$ ， $NN' \subset$ 平面 $PBB'$ ，所以 $NN' \perp$ 平面 $PAC$ ，且 $BB' \parallel NN'$ .

在 $\triangle PCC'$ 中，因为 $MM' \perp PA, CC' \perp PA$ ，所以 $MM' // CC'$ ，所以 $\frac{PM}{PC} = \frac{MM'}{CC'} = \frac{1}{3}$ ，

在 $\triangle PBB'$ 中，因为 $BB' // NN'$ ，所以 $\frac{PN}{PB} = \frac{NN'}{BB'} = \frac{2}{3}$ ，

$$ \frac {V _ {P - A M N}}{V _ {P - A B C}} = \frac {V _ {N - P A M}}{V _ {B - P A C}} = \frac {\frac {1}{3} S _ {\triangle P A M} \cdot N N ^ {\prime}}{\frac {1}{3} S _ {\triangle P A C} \cdot B B ^ {\prime}} = \frac {\frac {1}{3} \cdot \left(\frac {1}{2} P A \cdot M M ^ {\prime}\right) \cdot N N ^ {\prime}}{\frac {1}{3} \cdot \left(\frac {1}{2} P A \cdot C C ^ {\prime}\right) \cdot B B ^ {\prime}} = \frac {2}{9} $$

故选：B