2022_浙江卷
19. 物流公司通过滑轨把货物直接装运到卡车中，如图所示，倾斜滑轨与水平面成24°角，长度 $l _ { 1 } = 4 \mathrm { m }$ 水平滑轨长度可调，两滑轨间平滑连接。若货物从倾斜滑轨顶端由静止开始下滑，其与滑轨间的动摩擦因数均为 $m { = } \frac { 2 } { 9 }$ ，货物可视为质点（取 $\cos 2 4 ^ { \circ } = 0 . 9 ~ , ~ \sin 2 4 ^ { \circ } = 0 . 4$ ，重力加速度 $g = 1 0 \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 } )$ ）。
（1）求货物在倾斜滑轨上滑行时加速度 $a _ { 1 }$ 的大小；
（2）求货物在倾斜滑轨末端时速度v的大小；
（3）若货物滑离水平滑轨末端时的速度不超过2m/s，求水平滑轨的最短长度 $l _ { 2 }$
(1) $2 \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 }$; (2) 4m/s; (3) 2.7m
【答案】（1） $2 \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 }$ ；（2） 4m/s ；（3） 2.7m
【解析】
【详解】（1）根据牛顿第二定律可得
$$ m g \sin 2 4 ^ { \circ } - \mu m g \cos 2 4 ^ { \circ } = m a _ { 1 } $$
代入数据解得
$$ a _ { 1 } = 2 \mathrm { m / s } ^ { 2 } $$
（2）根据运动学公式
$$ 2 a _ { 1 } l _ { 1 } = \nu ^ { 2 } $$
解得
$$ \nu = 4 \mathrm { { m } / \mathrm { { s } } } $$
（3）根据牛顿第二定律
$$ \mu m g = m a _ { 2 } $$
根据运动学公式
$$ - 2 a _ { 2 } l _ { 2 } = \nu _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } $$
代入数据联立解得
$$ l _ { 2 } = 2 . 7 \mathrm { m } $$