2022_省自主命题（湖南）
18. 如图，某种防窥屏由透明介质和对光完全吸收的屏障构成，其中屏障垂直于屏幕平行排列，可实现对像素单元可视角度q的控制（可视角度q定义为某像素单元发出的光在图示平面内折射到空气后最大折射角的2倍）。透明介质的折射率 $n = 2$ ，屏障间隙 $L = 0 . 8 \mathrm { m m }$ 。发光像素单元紧贴屏下，位于相邻两屏障的正中间．不考虑光的衍射。
（1）若把发光像素单元视为点光源，要求可视角度q控制为 $6 0 ^ { \circ }$ ，求屏障的高度 $d ;$
（2）若屏障高度 $d = 1 . 0 \mathrm { m m }$ ，且发光像素单元的宽度不能忽略，求像素单元宽度x最小为多少时，其可视角度q刚好被扩为 $1 8 0 ^ { \circ }$ （只要看到像素单元的任意一点，即视为能看到该像素单元）。
(1) 1.55mm; (2) 0.35mm
【答案】（1）1.55mm；（2）0.35mm
【解析】
【详解】（1）发光像素单元射到屏障上的光被完全吸收，考虑射到屏障顶端的光射到透明介质和空气界面，折射后从界面射向空气，由题意可知 $\scriptstyle { \theta = 6 0 ^ { \circ } }$ ，则
$$ r = \frac {\theta}{2} = 3 0 ^ {\circ} $$
在介质中的入射角为i，则
$$ \frac {\sin r}{\sin i} = n $$
解得
$$ \sin i = \frac {1}{4} $$
由几何关系
$$ \sin i = \frac {\frac {L}{2}}{\sqrt {d ^ {2} + (\frac {L}{2}) ^ {2}}} $$
解得
$$ d = \sqrt {2 . 4} \mathrm{mm} \approx 1. 5 5 \mathrm{mm} $$
（2）若视角度q刚好被扩为 $1 8 0 ^ { \circ }$ ，则 ${ \frac { 1 8 0 ^ { \circ } } { 2 } } = 9 0 ^ { \circ }$ ，此时光线在界面发生全反射，此时光线在界面处的入射角
$$ \sin C = \frac {1}{n} = \frac {1}{2} $$
解得
$$ C = 30^\circ $$
此时发光像素单元发光点距离屏障的距离为
$$ x _ {1} = d \tan C = \frac {\sqrt {3}}{3} \mathrm{mm} $$
像素单元宽度x最小为
$$ x = 2 (x _ {1} - \frac {L}{2}) = (\frac {2 \sqrt {3}}{3} - 0. 8) \mathrm{mm} \approx 0. 3 5 \mathrm{mm} $$