（12分）如图，在三棱锥 P-A B C 中， A B=B…——2018 高考数学第 19 题答案解析

【考点】LW：直线与平面垂直；$M K$ ：点、线、面间的距离计算．
【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）证明：可得 $A B^{2}+B C^{2}=A C^{2}$ ，即 $\triangle A B C$ 是直角三角形，又 $P O A \cong \triangle P O B \cong \triangle P O C$ ，可得 $\angle P O A=\angle P O B=\angle P O C=90^{\circ}$ ，即可证明 $P O \perp$ 平面 $A B C$ ；
②设点 C 到平面 POM 的距离为 d ．由 $\mathrm{V}_{\mathrm{P}-\mathrm{OMC}}=\mathrm{V}_{\mathrm{C}-\mathrm{POM}} \Rightarrow \frac{1}{3} \times \mathrm{S}_{\triangle \mathrm{POM}} \cdot \mathrm{d}=\frac{1}{3} \times \mathrm{S}_{\triangle O C M} \times \mathrm{PO}$ ，解得 d 即可

【解答】（1）证明：$\because A B=B C=2 \sqrt{2}, A C=4, \therefore A B^{2}+B C^{2}=A C^{2}$ ，即 $\triangle A B C$ 是直角三角形，

又 $O$ 为 $A C$ 的中点，$\therefore O A=O B=O C$ ，
$\because \mathrm{PA}=\mathrm{PB}=\mathrm{PC}, \quad \therefore \triangle \mathrm{POA} \cong \triangle \mathrm{POB} \cong \triangle \mathrm{POC}, \quad \therefore \angle \mathrm{POA}=\angle \mathrm{POB}=\angle \mathrm{POC}=90^{\circ}$ ，
$\therefore P O \perp A C, P O \perp O B, O B \cap A C=0, \therefore P O \perp$ 平面 $A B C$ ；
（2）解：由（1）得 $\mathrm{PO} \perp$ 平面 $\mathrm{ABC}, \mathrm{PO}=\sqrt{\mathrm{PA}^{2}-\mathrm{AO}^{2}}=2 \sqrt{3}$ ，
在 $\triangle \mathrm{COM}$ 中， $\mathrm{OM}=\sqrt{\mathrm{OC}^{2}+\mathrm{CM}^{2}-20 \mathrm{C} \cdot \mathrm{CM} \cos 45^{0}}=\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ ．
S $\triangle \mathrm{POM}=\frac{1}{2} \times \mathrm{PO} \times \mathrm{OM}=\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times \frac{2 \sqrt{5}}{3}=\frac{2 \sqrt{15}}{3}$ ，
$S_{\triangle C O M}=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times S_{\triangle A B C}=\frac{4}{3}$ ．
设点C到平面 $P O M$ 的距离为 $d$ ．由 $V_{P-O M C}=V_{C-P O M} \Rightarrow \frac{1}{3} \times S_{\triangle P O M} \cdot d=\frac{1}{3} \times S_{\triangle O C M} \times P O$

解得 $\mathrm{d}=\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ，
∴ 点C到平面 POM 的距离为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ．
【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，等体积法求距离，属于中档题．