2018 新课标 II 卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．$(5$ 分 $) i(2+3 i)=$

2．（5分）已知集合 $A=\{1,3,5,7\}, B=\{2,3,4,5\}$ ，则 $A \cap B=$

3．（5分）函数 $f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{x^{2}}$ 的图象大致为

4．（5分）已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1, \vec{a} \cdot \vec{b}=-1$ ，则 $\vec{a} \bullet(2 \vec{a}-\vec{b})=$（）

5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）

6．（5分）双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则其渐近线方程为（ ）

7．（5分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\cos \frac{\mathrm{C}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}, \mathrm{BC}=1, \mathrm{AC}=5$ ，则 $\mathrm{AB}=$（ ）

8．（5分）为计算 $\mathrm{S}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$ ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ） 

9．（5分）在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为棱 $C C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A E$ 与 $C D$所成角的正切值为（ ）

10．（5分）若 $f(x)=\cos x-\sin x$ 在 $[0, a]$ 是减函数，则 $a$ 的最大值是（）

11．（5分）已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点，$P$ 是 $C$ 上的一点，若 $P F_{1} \perp P F_{2}$ ，且 $\angle P F_{2} F_{1}=60^{\circ}$ ，则 $C$ 的离心率为

12．（5分）已知 $f(x)$ 是定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，满足 $f(1-x)=f 1+x)$ ，若 $f(1)=2$ ，则 $f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(50)=$

13．（5分）曲线 $\mathrm{y}=2 \ln \mathrm{x}$ 在点（ 1,0 ）处的切线方程为 $\_\_\_\_$ $y=2 x-2$。

14．（5分）若 $x$ ，$y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+2 y-5 \geqslant 0 \\ x-2 y+3 \geqslant 0 \\ x-5 \leqslant 0\end{array}\right.$ 则 $z=x+y$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 9 ．

15．（5分）已知 $\tan \left(\alpha-\frac{5 \pi}{4}\right)=\frac{1}{5}$ ，则 $\tan \alpha=$ $\_\_\_\_$ $\frac{3}{2}$ ．

16．（5分）已知圆锥的顶点为 $S$ ，母线 $S A, S B$ 互相垂直，$S A$ 与圆锥底面所成角为 $30^{\circ}$ ．若 $\triangle S A B$ 的面积为 8 ，则该圆锥的体积为 $\_\_\_\_$ $8 \pi$ ．

17．（12分）记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1}=-7, S_{3}=-15$ ． （1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （2）求 $S_{n}$ ，并求 $S_{n}$ 的最小值．

18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元的折线图．  为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型。根据2000年至2016年的数据（时间变量 t 的值依次为 $1,2, \ldots$ ， 17）建立模型①：$\widehat{y}=-30.4+13.5 t$ ；根据2010年至2016年的数据（时间变量 $t$的值依次为 $1,2, \ldots, 7$ ）建立模型②：$\widehat{y}^{=99+17.5 t}$ ． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。

19．（12分）如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$A B=B C=2 \sqrt{2}, P A=P B=P C=A C=4, O$ 为 $A C$ 的中点． （1）证明：$P O \perp$ 平面 $A B C$ ； （2）若点 $M$ 在棱 $B C$ 上，且 $M C=2 M B$ ，求点 $C$ 到平面 $P O M$ 的距离． 

20．（12分）设抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线 $l$ 与 $C$交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，$|\mathrm{AB}|=8$ ． （1）求$l$的方程； （2）求过点 $A$ ，$B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程．

21．（12分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-a\left(x^{2}+x+1\right)$ ． （1）若 $a=3$ ，求 $f(x)$ 的单调区间； （2）证明：$f(x)$ 只有一个零点．

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=4 \sin \theta\end{array}\right.$ ，（ $\theta$ 为参数 ），直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos \alpha \\ y=2+t \sin \alpha\end{array}\right.$ ，（ $t$ 为参数）． （1）求 C 和 $l$ 的直角坐标方程； （2）若曲线 C 截直线 $l$ 所得线段的中点坐标为 $(1,2)$ ，求 $l$ 的斜率．

23．设函数 $f(x)=5-|x+a|-|x-2|$ ． （1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x) \geq 0$ 的解集； （2）若 $f(x) \leq 1$ ，求 $a$ 的取值范围．