（5分）已知正三角形 A B C 的顶点 A(1,1),…——2012 高考数学第 5 题答案解析

【考点】7C：简单线性规划．
【专题】11：计算题．
【分析】由A，B及 $\triangle A B C$ 为正三角形可得，可求 $C$ 的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求 $z$ 的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围

【解答】解：设 $C(a, b),(a>0, b>0)$

由 $A(1,1), B(1,3)$ ，及 $\triangle A B C$ 为正三角形可得，$A B=A C=B C=2$
即 $(a-1)^{2}+(b-1)^{2}=(a-1)^{2}+(b-3)^{2}=4$
$\therefore \mathrm{b}=2, \mathrm{a}=1+\sqrt{3}$ 即C $(1+\sqrt{3}, 2)$
则此时直线 $A B$ 的方程 $x=1, A C$ 的方程为 $y-1=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-1)$ ，
直线 $B C$ 的方程为 $y-3=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-1)$
当直线 $x-y+z=0$ 经过点 $A(1,1)$ 时，$z=0$ ，经过点 $B(1,3) z=2$ ，经过点 $C(1+ \sqrt{3}, 2)$ 时， $\mathrm{z}=1-\sqrt{3}$
$\therefore z_{\text {max }}=2, z_{\text {min }}=1-\sqrt{3}$
故选：A．

【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想。属于基本题型。