2015_退役省自主命题 (2015·文)
18．（本小题满分 12 分）如图4，直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为 2 的正三角形，$E, F$ 分别是 $B C, C C_{1}$的中点。
（I）证明：平面 $A E F \perp$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；
（II）若直线 $A_{1} C$ 与平面 $A_{1} A B B_{1}$ 所成的角为 $45^{\circ}$ ，求三棱锥 $F-A E C$ 的体积。
【答案】（I）略；（II）$\frac{\sqrt{6}}{12}$ ．
## 【解析】
试题分析：（I）首先证明 $A E \perp B B_{1}, A E \perp B C$ ，得到 $A E \perp$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ，利用面面垂直的判定与性质定理可得平面 $A E F \perp$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；（II）设 AB 的中点为 D ，证明直线 $\angle C A_{1} D$ 直线 $A_{1} C$ 与平面 $A_{1} A B B_{1}$ 所成的角，由题设知 $\angle C A_{1} D=45^{\circ}$ ，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．
试题解析：（I）如图，因为三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 是直三棱柱，
所以 $A E \perp B B_{1}$ ，又 $E$ 是正三角形 $A B C$ 的边 $B C$ 的中点，
所以 $A E \perp B C$ ，因此 $A E \perp$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ，而 $A E \subset$ 平面 $A E F$ ，
所以平面 $A E F \perp$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ 。
（II）设 $A B$ 的中点为 $D$ ，连接 $A_{1} D, C D$ ，因为 $\triangle A B C$ 是正三角形，所以 $C D \perp A B$ ，又三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$是直三棱柱，所以 $C D \perp A A_{1}$ ，因此 $C D \perp$ 平面 $A_{1} A B_{1} B$ ，于是 $\angle C A_{1} D$ 直线 $A_{1} C$ 与平面 $A_{1} A B B_{1}$ 所成的角，由题设知 $\angle C A_{1} D=45^{\circ}$ ，
所以 $A_{1} D=C D=\frac{\sqrt{3}}{2} A B=\sqrt{3}$ ，
在 $\operatorname{Rt} \Delta A A_{1} D$ 中，$A A_{1}=\sqrt{A_{1} D^{2}-A D^{2}}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$ ，所以 $F C=\frac{1}{2} A A_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
故三棱锥 $F-A E C$ 的体积 $V=\frac{1}{3} S_{A E C} \times F C=\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{12}$ 。
【考点定位】柱体、椎体、台体的体积；面面垂直的判定与性质
【名师点睛】证明面面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础。由于＂线线垂直＂＂线面垂直＂＂面面垂直＂之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直。这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在。求锥的体积关键在于确定其高，即确定线面垂直。