已知O 为坐标原点，点A(1,1)在抛物线 C : x ^…——2022 高考数学第 11 题答案解析

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离

公式及弦长公式可判断C、D.

【详解】将点A的代入抛物线方程得 $1 = 2 p$ ，所以抛物线方程为 $x ^ { 2 } = y$ ，故准线方程为$y = - { \frac { 1 } { 4 } }$ ，A 错误；$k _ { _ { A B } } = \frac { 1 - ( - 1 ) } { 1 - 0 } = 2$ ，所以直线AB的方程为 $y = 2 x - 1$ 联立 $\left\{ \begin{array} { l l } { y = 2 x - 1 } \\ { x ^ { 2 } = y } \end{array} \right.$ ，可得 $x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 0$ ，解得x =1，故B正确；设过B的直线为l，若直线l与^y 轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以，直线l的斜率存在，设其方程为 $y = k x - 1$ $P ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , Q ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )$ 联立 $\left\{ \begin{array} { l l } { y = k x - 1 } \\ { x ^ { 2 } = y } \end{array} \right.$ ，得 $x ^ { 2 } - k x + 1 = 0$ 所以 $\left\{ \begin{array} { c } { \Delta = k ^ { 2 } - 4 > 0 } \\ { x _ { 1 } + x _ { 2 } = k } \\ { x _ { 1 } x _ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$ ，所以 $k > 2$ 或 k < -2， $y _ { 1 } y _ { 2 } = ( x _ { 1 } x _ { 2 } ) ^ { 2 } = 1$ 又 $\mid O P \mid = \sqrt { x _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } } = \sqrt { y _ { 1 } + y _ { 1 } ^ { 2 } } ~ , ~ \mid O Q \mid = \sqrt { x _ { 2 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } } = \sqrt { y _ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } }$ 所以 $\vert O P \vert \cdot \vert O Q \vert = \sqrt { y _ { 1 } y _ { 2 } ( 1 + y _ { 1 } ) ( 1 + y _ { 2 } ) } = \sqrt { k x _ { 1 } \times k x _ { 2 } } = \vert k \vert > 2 = \vert O A \vert ^ { 2 }$ ，故C正确；因为 $\mid B P \mid = \sqrt { 1 + k ^ { ^ { 2 } } } \mid x _ { 1 } \mid , | B Q | = \sqrt { 1 + k ^ { ^ { 2 } } } \mid x _ { 2 } \mid$ 所以 $\mid B P \mid \cdot \mid B Q \mid = ( 1 + k ^ { 2 } ) \mid x _ { 1 } x _ { 2 } \mid = 1 + k ^ { 2 } > 5$ ，而 $\mid B A \mid ^ { 2 } = 5$ ，故D 正确.故选：BCD