（本小题满分 14 分） 在 A B C 中，已知 A B…——2012 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（14分）（2012•江苏）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，已知 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=3 \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ．
（1）求证： $\tan \mathrm{B}=3 \tan \mathrm{~A}$ ；
（2）若 $\cos \mathrm{C}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 A 的值．

考点 解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．

专题 三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．
分析（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以 ：$\quad \mathrm{c}$ 化简后，再利用正弦定理变形，根据 $\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \neq 0$ ，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到 $\tan B=3 \tan A$ ；
②由 C 为三角形的内角，及 $\cos \mathrm{C}$ 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 $\sin \mathrm{C}$的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出 $\operatorname{tanC}$ 的值，由 $\operatorname{tanC}$ 的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出 $\tan (\mathrm{A}+\mathrm{B})$ 的值，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将 $\tan B=3 \tan A$ 代入，得到关于 $\tan A$ 的方程，求出方程的解得到 $\tan A$的值，再由 A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数。

解答

解：（1）$\because \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=3 \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ，
$\therefore c \cos \mathrm{~A}=3 \operatorname{cacos} \mathrm{~B}$ ，即 $\mathrm{b} \cos \mathrm{A}=3 \mathrm{a} \cos \mathrm{B}$ ，
由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}$ 得： $\sin B \cos A=3 \sin A \cos B$ ，
又 $0<\mathrm{A}+\mathrm{B}<\pi, \quad \therefore \cos \mathrm{A}>0, \quad \cos \mathrm{~B}>0$ ，
在等式两边同时除以 $\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B}$ ，可得 $\tan \mathrm{B}=3 \tan \mathrm{~A}$ ；

$$ \begin{aligned} & \text { (2) } \because \cos C=\frac{\sqrt{5}}{5}, 0<C<\pi, \\ & \sin C=\sqrt{1-\cos ^{2}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \\ & \therefore \tan C=2, \\ & \text { 则 } \tan [\pi-(A+B)]=2, \text { 即 } \tan (A+B)=-2, \end{aligned} $$

$\therefore \frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B}=-2$ ，
将 $\tan B=3 \tan A$ 代入得：$\frac{\tan A+3 \tan A}{1-3 \tan ^{2} A}=-2$ ，
整理得： $3 \tan ^{2} \mathrm{~A}-2 \tan \mathrm{~A}-1=0$ ，即 $(\tan \mathrm{A}-1)(3 \tan \mathrm{~A}+1)=0$ ，
解得： $\tan A=1$ 或 $\tan A=-\frac{1}{3}$ ，
又 $\cos \mathrm{A}>0, \therefore \tan \mathrm{~A}=1$ ，
又A为三角形的内角，
则 $\mathrm{A}=\frac{\pi}{4}$ ．
点评 此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则，正弦定理 ：，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．