记 A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,…——2022 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（1）见解析
（2） 14

【解析】

【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出 $b c$ ，从而可求得 $b+c$ ，即可得解．
【小问 1 详解】
证明：因为 $\sin C \sin (A-B)=\sin B \sin (C-A)$ ，
所以 $\sin C \sin A \cos B-\sin C \sin B \cos A=\sin B \sin C \cos A-\sin B \sin A \cos C$ ，
所以 $a c \cdot \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}-2 b c \cdot \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=-a b \cdot \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}$ ，
即 $\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)=-\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}$,
所以 $2 a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ；

【小问 2 详解】

解：因为 $a=5, \cos A=\frac{25}{31}$ ，
由（1）得 $b^{2}+c^{2}=50$ ，

由余弦定理可得 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$ ，
则 $50-\frac{50}{31} b c=25$ ，
所以 $b c=\frac{31}{2}$ ，

故 $(b+c)^{2}=b^{2}+c^{2}+2 b c=50+31=81$ ，
所以 $b+c=9$ ，
所以 $\triangle A B C$ 的周长为 $a+b+c=14$ ．