2013_daganji_old
17．（10分）等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 中， $\mathsf { a } _ { 7 } = 4 , \mathsf { a } _ { 1 9 } = 2 \mathsf { a } _ { 9 }$
（Ⅰ）求 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b _ { n } = \frac { 1 } { n \bar { a } _ { n } }$ ，求数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 的前n项和 $S _ { \mathfrak { n } }$
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和
【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列
【分析】（I）由 $\mathtt { a } _ { 7 } = 4 , \mathtt { a } _ { 1 9 } = 2 \mathtt { a } _ { 9 }$ ，结合等差数列的通项公式可求 $\begin{array} { r } { \mathbf { \vec { a } } _ { 1 } , \mathbf { \vec { d } } , } \end{array}$ ，进而可求 $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } }$
（II）由 $\flat _ { \mathfrak { n } } = \frac { 1 } { \mathfrak { n } \mathfrak { a } _ { \mathfrak { n } } } = \frac { 2 } { \mathfrak { n } \left( \mathfrak { n } + 1 \right) } = \frac { 2 } { \mathfrak { n } } - \frac { 2 } { \mathfrak { n } + 1 }$ ，利用裂项求和即可求解
【解答】解：（I）设等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的公差为d
$$ \because a _ { 7 } = 4 , \mathsf { a } _ { 1 9 } = 2 \mathsf { a } _ { 9 } , $$
$$ \therefore \left\{ \begin{array} { l l } { { \tt a } _ { 1 } + { \tt G } \mathrm { d } = { \tt 4 } } \\ { { \tt a } _ { 1 } + 1 8 \mathrm { d } = 2 \left( { \tt a } _ { 1 } + 8 \mathrm { d } \right) } \end{array} \right. $$
解得， $\mathsf { a } _ { 1 } \mathsf { = } 1 , ~ \mathsf { d } \mathsf { = } \frac { 1 } { 2 }$
$$ \therefore a _ { n } = 1 + \frac { 1 } { 2 } ( n - 1 ) = \frac { 1 + n } { 2 } $$
（II） $\because b _ { n } = { \frac { 1 } { n \cdot a _ { n } } } = { \frac { 2 } { n ( n + 1 ) } } = { \frac { 2 } { n } } - { \frac { 2 } { n + 1 } }$
$$ \therefore s _ { n } = 2 ( 1 - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } + \cdots + \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 } ) $$
$$ = 2 ( 1 - \frac { 1 } { n + 1 } ) = \frac { 2 n } { n + 1 } $$
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易