（本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥 P-A B C…——2014 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
（14分）（2014•江苏）如图，在三棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ 分别为棱 $\mathrm{PC}, \mathrm{AC}, \mathrm{AB}$的中点，已知 $\mathrm{PA} \perp \mathrm{AC}, \mathrm{PA}=6, \mathrm{BC}=8, \mathrm{DF}=5$ ．求证：
（1）直线 $\mathrm{PA} \|$ 平面 DEF ；
（2）平面 $\mathrm{BDE} \perp$ 平面 ABC ．

考点 平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．
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专题 空间位置关系与距离；空间角；立体几何．
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分析①由 $\mathrm{D} , \mathrm{E}$ 为 $\mathrm{PC} , \mathrm{AC}$ 的中点，得出 $\mathrm{DE} \| \mathrm{PA}$ ，从而得出 $\mathrm{PA} \|$ 平面 DEF ；
：（2）要证平面 $\mathrm{BDE} \perp$ 平面 ABC ，只需证 $\mathrm{DE} \perp$ 平面 ABC ，即证 $\mathrm{DE} \perp \mathrm{EF}$ ，且 $\mathrm{DE} \perp \mathrm{AC}$ 即可。
解答 证明：①$\because \mathrm{D} , \mathrm{E}$ 为 $\mathrm{PC} , \mathrm{AC}$ 的中点，$\therefore \mathrm{DE} \| \mathrm{PA}$ ，
：又 $\because \mathrm{PA} \not \subset$ 平面 DEF ， $\mathrm{DEC} \subset$ 平面 DEF ，
$\therefore \mathrm{PA} \|$ 平面 DEF ；

（2）$\because \mathrm{D} , \mathrm{E}$ 为 $\mathrm{PC} , \mathrm{AC}$ 的中点，$\therefore \mathrm{DE}=\frac{1}{2} \mathrm{PA}=3$ ；
又 $\because \mathrm{E} , \mathrm{~F}$ 为 $\mathrm{AC} , \mathrm{AB}$ 的中点，$\therefore \mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}=4$ ；
$\therefore \mathrm{DE}^{2}+\mathrm{EF}^{2}=\mathrm{DF}^{2}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{DEF}=90^{\circ}$ ，
$\therefore \mathrm{DE} \perp \mathrm{EF}$ ；
$\because \mathrm{DE} \| \mathrm{PA}, \mathrm{PA} \perp \mathrm{AC}, \therefore \mathrm{DE} \perp \mathrm{AC}$ ；
$\because \mathrm{AC} \cap \mathrm{EF}=\mathrm{E}, \therefore \mathrm{DE} \perp$ 平面 ABC ；
$\because \mathrm{DEC} \subset$ 平面 $\mathrm{BDE}, ~ \therefore$ 平面 $\mathrm{BDE} \perp$ 平面 ABC 。
点评 本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之
：间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．