（5分）如图，长方形 A B C D 的边 A B=2,…——2015 高考数学第 11 题答案解析

【考点】HC：正切函数的图象．
【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．
【解答】解：当 $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ 时，$B P=\tan x, A P=\sqrt{A B^{2}+B P^{2}}=\sqrt{4+\tan ^{2} x}$ ，
此时 $f(x)=\sqrt{4+\tan ^{2} x}+\tan x, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ ，此时单调递增，

当 $P$ 在 $C D$ 边上运动时，$\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{3 \pi}{4}$ 且 $x \neq \frac{\pi}{2}$ 时，

如图所示， $\tan \angle \mathrm{POB}=\tan (\pi-\angle \mathrm{POQ})=\tan \mathrm{x}=-\tan \angle \mathrm{POQ}=-\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{OQ}}=-\frac{1}{\mathrm{OQ}}$ ，
$\therefore \mathrm{OQ}=-\frac{1}{\tan \mathrm{x}}$ ，
$\therefore P D=A O-O Q=1+\frac{1}{\tan x}, \quad P C=B O+O Q=1-\frac{1}{\tan x}$ ，
$\therefore \mathrm{PA}+\mathrm{PB}=\sqrt{\left(1-\frac{1}{\tan \mathrm{x}}\right)^{2}+1}+\sqrt{\left(1+\frac{1}{\tan \mathrm{x}}\right)^{2}+1}$ ，
当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时，$P A+P B=2 \sqrt{2}$ ，
当 P 在 AD 边上运动时，$\frac{3 \pi}{4} \leq \mathrm{x} \leq \pi, \mathrm{PA}+\mathrm{PB}=\sqrt{4+\tan ^{2} \mathrm{x}}-\tan \mathrm{x}$ ，
由对称性可知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 关于 $\mathrm{x}=\frac{\pi}{2}$ 对称，
且 $f\left(\frac{\pi}{4}\right)>f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ，且轨迹为非线型，
排除A，C，D，

故选：B．

【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出 $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ 时的解析式是解决本题的关键．