2015 新课标 II 卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）已知集合 $A=\{x \mid-1<x<2\}$ ，$B=\{x \mid 0<x<3\}$ ，则 $A \cup B=$（）

2．（5分）若为 $a$ 实数，且 $\frac{2+a i}{1+i}=3+i$ ，则 $a=$（ ）

3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是 

4．（5分）$\vec{a}=(1,-1), \vec{b}=(-1,2)$ 则 $(2 \vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{a}=()$

5．（5分）已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1}+a_{3}+a_{5}=3$ ，则 $S_{5}=()$

6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为   

7．（5分）已知三点 $A(1,0), B(0, \sqrt{3}), C(2, \sqrt{3})$ 则 $\triangle A B C$ 外接圆的圆心到原点的距离为

8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的＂更相减损术＂．执行该程序框图，若输入a，b分别为 14,18 ，则输出的 $a=$（ 

9．（5分）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=\frac{1}{4}, a_{3} a_{5}=4\left(a_{4}-1\right)$ ，则 $a_{2}=$（）

10．（5分）已知 $A$ ，$B$ 是球 $O$ 的球面上两点，$\angle A O B=90^{\circ}$ ，$C$ 为该球面上的动点，若三棱锥 $O-A B C$ 体积的最大值为 36 ，则球 $O$ 的表面积为（）

11．（5分）如图，长方形 $A B C D$ 的边 $A B=2, B C=1, O$ 是 $A B$ 的中点，点 $P$ 沿着边 $B C$ ， CD 与 DA 运动，记 $\angle \mathrm{BOP}=\mathrm{x}$ ．将动点 P 到 A ， B 两点距离之和表示为 x 的函数 f （ x），则 $y=f(x)$ 的图象大致为（ ） 

12．（5分）设函数 $f(x)=\ln (1+|x|)-\frac{1}{1+x^{2}}$ ，则使得 $f(x)>f(2 x-1)$ 成立的x的取值范围是（）

13．（3分）已知函数 $f(x)=a x^{3}-2 x$ 的图象过点 $(-1,4)$ 则 $a=-2$ ．

14．（3分）若 $x$ ，$y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y-5 \leqslant 0 \\ 2 x-y-1 \geqslant 0, \\ x-2 y+1 \leqslant 0\end{array}\right.$ 则 $z=2 x+y$ 的最大值为 8 。

15．（3分）已知双曲线过点 $(4, \sqrt{3})$ 且渐近线方程为 $y= \pm \frac{1}{2} x$ ，则该双曲线的标准方程是 $-\frac{1}{4} x^{2}-y^{2}=1$ 。

16．（3分）已知曲线 $y=x+\ln x$ 在点（1，1）处的切线与曲线 $y=a x^{2}+(a+2) x+1$ 相切，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ 8 ．

17．$\triangle A B C$ 中，$D$ 是 $B C$ 上的点，$A D$ 平分 $\angle B A C, B D=2 D C$ （I）求 $\frac{\sin \angle B}{\sin \angle C}$ ． （II）若 $\angle B A C=60^{\circ}$ ，求 $\angle B$ ．

18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表 $A$ 地区用户满意度评分的频率分布直方图  $B$ 地区用户满意度评分的频率分布直方图  B地区用户满意度评分的频数分布表 | 满意度评分分组 | $[50,60)$ | $[60,70)$ | $[70,80)$ | $[80,90)$ | $[90,100)$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 频数 | 2 | 8 | 14 | 10 | 6 | （1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可） （II）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级： | 满意度评分 | 低于70分 | 70 分到89分 | 不低于90分 | | :---: | :---: | :---: | :---: | | 满意度等级 | 不满意 | 满意 | 非常满意 | 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由。

19．（12分）如图，长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=16, B C=10, A A_{1}=8$ ，点 $E, F$分别在 $A_{1} B_{1}, D_{1} C_{1}$ 上，$A_{1} E=D_{1} F=4$ ．过 $E$ ，$F$ 的平面 $\alpha$ 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （I）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （II）求平面 $\alpha$ 把该长方体分成的两部分体积的比值． 

20．椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,(a>b>0)$ 的离心率 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 点 $(2, \sqrt{2})$ 在 $c$ 上． （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 I 不过原点 O 且不平行于坐标轴， I 与 C 有两个交点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，线段 AB 的中点为M．证明：直线 $O M$ 的斜率与I的斜率的乘积为定值．

21．设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x}+\mathrm{a}(1-\mathrm{x})$ ． （I）讨论：$f(x)$ 的单调性； （II）当 $f(x)$ 有最大值，且最大值大于 $2 a-2$ 时，求 $a$ 的取值范围．

22．（10分）如图， O 为等腰三角形 ABC 内一点，$\odot \mathrm{O}$ 与 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的底边 BC 交于 M ， $N$ 两点，与底边上的高 $A D$ 交于点 $G$ ，且与 $A B, A C$ 分别相切于 $E, F$ 两点． （1）证明：$E F \| B C$ ； （2）若 $A G$ 等于 $\odot O$ 的半径，且 $A E=M N=2 \sqrt{3}$ ，求四边形 $E B C F$ 的面积． 

23．（10分）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=t \cos \alpha \\ y=t \sin \alpha\end{array}\right.$（ $t$ 为参数，$t \neq 0$ ），其中 $0 \leq \alpha \leq \pi$ ，在以 O 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $\mathrm{C}_{2}: \rho=2 \sin \theta$ ， $\mathrm{C}_{3}: \rho=2 \sqrt{3} \cos \theta$ ． （1）求 $\mathrm{C}_{2}$ 与 $\mathrm{C}_{3}$ 交点的直角坐标； （2）若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相交于点 $A, C_{1}$ 与 $C_{3}$ 相交于点 $B$ ，求 $|A B|$ 的最大值．

24．（10分）设 $a, b, c, d$ 均为正数，且 $a+b=c+d$ ，证明： （1）若 $a b>c d$ ，则 $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$ ； ②$\sqrt{\mathrm{a}}+\sqrt{\mathrm{b}}>\sqrt{\mathrm{c}}+\sqrt{\mathrm{d} \text { 是 }|\mathrm{a}-\mathrm{b}|<|\mathrm{c}-\mathrm{d}| \text { 的充要条件。 }}$