。（本小题满分 12 分） 某个实心零部件的形状是如图所示…——2012 高考数学第 19 题答案解析

【解析】（1）因为四棱柱 $A B C D-A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 全等的矩形，所以
$A A_{2} \perp \mathrm{AB}, \quad A A_{2} \perp \mathrm{AD}$,

又因为 $A B \cap A D=A$ ，所以 $A A_{2} \perp$ 平面 ABCD ，连结 BD ，因为 $\mathrm{BD} \subset$

第19题图

平面 ABCD ，所以 $A A_{2} \perp \mathrm{BD}$ ，
因为底面 ABCD 是正方形，所以 $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}$ ，根据棱台的定义可知， BD 与 $B_{1} D_{1}$ 共面，
又已知平面 $\mathrm{ABCD} / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，且平面 $B B_{1} D_{1} D \cap$ 平面 $\mathrm{ABCD}=\mathrm{BD}$ ，
平面 $B B_{1} D_{1} D \cap$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}=B_{1} D_{1}$ ，所以 $B_{1} D_{1} / / \mathrm{BD}$ ，
由 $A A_{2} \perp \mathrm{BD}, \mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}, B_{1} D_{1} / / \mathrm{BD}$ ，可得 $A A_{2} \perp B_{1} D_{1}, \mathrm{AC} \perp B_{1} D_{1}$ ，
又因为 $A A_{2} \cap \mathrm{AC}=\mathrm{A}$ ，所以直线 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{D}_{1} \perp$ 平面 $\mathrm{ACC}_{2} \mathrm{~A}_{2}$ ．
（2）因为四棱柱 $A B C D-A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以
$S_{1}=S_{\text {直检柱上苓面 }}+S_{\text {四检柱例面 }}=\left(A_{2} B_{2}\right)^{2}+4 A B \cdot A A_{2}=10^{2}+4 \times 10 \times 30=1300\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$ ．
又因为四棱台 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}-A B C D$ 的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以
$S_{2}=S_{\text {直棱柱下底面 }}+S_{\text {四棱台侧面 }}=\left(A_{1} B_{1}\right)^{2}+4 \times \frac{1}{2}\left(A B+A_{1} B_{2}\right) h_{\text {等腰梯形的底 }}=$

$20^{2}+4 \times \frac{1}{2}(10+20) \sqrt{13^{2}-\left[\frac{1}{2}(20-10)\right]^{2}}=1120\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.
所以该实心零部件的表面积为 $S=S_{1}+S_{2}=1300+1120=2420\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$ ，
所以所需加工处理费为 $0.2 S=0.2 \times 2420=484$（元）．
【考点定位】本小题考查空间线线与线面的位置关系，考查同学们的空间想象能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力．