设实数 x, y 满足 array l 2 x+y ≤ 1…——2015 高考数学第 9 题答案解析

【答案】 $A$

【解析】画出可行域如图

在 $\triangle A B C$ 区域中结合图象可知
当动点在线段 $A C$ 上时 $x y$ 取得最大
此时 $2 x+y=10$
$x y=\frac{1}{2}(2 x \cdot y) \leqslant \frac{1}{2}\left(\frac{2 x+y}{2}\right)^{2}=\frac{25}{2}$
当且仅当 $x=\frac{5}{2}, y=5$ 时取等号，对应点 $\left(\frac{5}{2}, 5\right)$ 落在线段 $A C$ 上，
故最大值为 $\frac{25}{2}$

选 $A$

【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考查学生综合运用知识解决问题的能力．

【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是＂求 $x y$ 最大值＂中，$x y$ 已经不是＂线性＂
问题了，如果直接设 $x y=k$ ，则转化为反比例函数 $y=\frac{\boldsymbol{k}}{\boldsymbol{x}}$ 的曲线与可行域有公共点问题，难度较大，且有超出＂线性＂的嫌疑。而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系数的配凑，即可得到结论，当然，对于等号成立的条件也应该给以足够的重视．属于较难题．