如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边…——2024 高考数学第 24 题答案解析

【答案】 （1）证明见详解；
（2） 4 313
【解析】
【分析】 （1）结合已知易证四边形BCDM为平行四边形，可证 //BM CD，进而得证；
（2）作$BO AD^$交 AD于O，连接OF，易证 , ,OB OD OF三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公
式即可求解.
【小问 1 详解】
因为 // , $2, 4,BC AD EF AD M= =$为 AD的中点，所以 // ,$BC MD BC MD=$，

四边形BCDM平行四边形，所以 //BM CD，又因为BMË平面CDE，
CDÌ平面CDE，所以 //BM平面CDE；
【小问 2 详解】
如图所示，作$BO AD^$交 AD于O，连接OF，
因为四边形 ABCD为等腰梯形， // , $4,BC AD AD=2AB BC= =$，所以 $2CD=$，
结合①BCDM为平行四边形，可得 $2BM CD= =$，又 $2AM=$，
所以 ABMV为等边三角形，O为 AM中点，所以 $3OB=$，
又因为四边形 ADEF为等腰梯形，M为 AD中点，所以 , //$EF MD EF MD=$，
四边形EFMD为平行四边形，$FM ED AF= =$，
所 以 AFM△为 等 腰 三 角 形，ABMV与 AFM△底 边 上 中 点O重 合，$OF AM^$，
$2 23OF AF AO= - =$，
因为 $2 2 2OB OF BF+ =$，所以$OB OF^$，所以 , ,OB OD OF互相垂直，
以OB方向 x轴，OD方向为y轴，OF方向为z轴，建立O xyz-空间直角坐标系，
0,0,3F， 3,0,0 , 0,1,0 , 0, 2,3B M E， $3,1,0 , 3,0,3BM BF= - = -uuuu r uuu r$
，
$3, 2,3BE= -uuu r$
，设平面BFM的法向量为 $1 1 1, ,m x y z=r$
，
平面EMB的法向量为 $2 2 2, ,n x y z=r$
，
则
00m BMm BFì× =ïí× =ïîuuuu rruuu rr，即 1 11 13 03 3 0x yx zì- + =ïí- + =ïî
，令 $13x=$，得 $1 13, 1y z= =$，即 $3,3,1m=r$，
则
00n BMn BEì× =ïí× =ïîuuuu rruuu rr，即 2 22 2 23 03 2 3 0x yx y zì- + =ïí- + + =ïî
，令 $23x=$，得 $2 23, 1y z= = -$，
即 $3,3, 1n= -r$，
11 11cos ,1313 13m nm nm n×= = =××r rr rr r，则 $4 3sin ,13m n=r r$，
故二面角F BM E- -的正弦值为 4 313
.
为
为