（5分）已知函数 f(x)=sin (ω x+ ) (ω>…——2016 高考数学第 12 题答案解析

【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．

【分析】根据已知可得 $\omega$ 为正奇数，且 $\omega \leq 12$ ，结合 $x=-\frac{\pi}{4}$ 为 $f(x)$ 的零点，$x= \frac{\pi}{4}$ 为 $y=f(x)$ 图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合 $f(x)$ 在（ $\frac{\pi}{18}$ ，$\frac{5 \pi}{36}$ ）上单调，可得 $\omega$ 的最大值．
【解答】解：$\because x=-\frac{\pi}{4}$ 为 $f(x)$ 的零点，$x=\frac{\pi}{4}$ 为 $y=f(x)$ 图象的对称轴，
$\therefore \frac{2 n+1}{4} \cdot T=\frac{\pi}{2}, ~$ 即 $\frac{2 n+1}{4} \cdot \frac{2 \pi}{\omega}=\frac{\pi}{2}, ~(n \in N)$
即 $\omega=2 n+1, \quad(n \in N)$
即 $\omega$ 为正奇数，
$\because f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{18}, \frac{5 \pi}{36}\right)$ 上单调，则 $\frac{5 \pi}{36}-\frac{\pi}{18}=\frac{\pi}{12} \leq \frac{T}{2}$ ，
即 $\mathrm{T}=\frac{2 \pi}{\omega} \geq \frac{\pi}{6}$ ，解得：$\omega \leq 12$ ，
当 $\omega=11$ 时，$\quad-\frac{11 \pi}{4}+\phi=k \pi, k \in Z$ ，
$\because|\phi| \leq \frac{\pi}{2}$,
$\therefore \phi=-\frac{\pi}{4}$ ，
此时 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\left(\frac{\pi}{18}, \frac{5 \pi}{36}\right)$ 不单调，不满足题意；
当 $\omega=9$ 时，$\quad-\frac{9 \pi}{4}+\phi=k \pi, k \in Z$ ，
$\because|\phi| \leq \frac{\pi}{2}$,
$\therefore \phi=\frac{\pi}{4}$ ，
此时 $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{18}, \frac{5 \pi}{36}\right)$ 单调，满足题意；
故 $\omega$ 的最大值为 9 ，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大。