（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 已知关于…——2015 高考数学第 24 题答案解析

【答案】（I）$a=-3, b=1$ ；（II） 4 ．

【解析】

试题分析：（I）先由 $|x+a|<b$ 可得 $-b-a<x<b-a$ ，再利用关于 $x$ 的不等式 $|x+a|<b$ 的解集为 $\{x \mid 2<x<4\}$ 可得 $a, b$ 的值；（II）先将 $\sqrt{-3 t+12}+\sqrt{t}$ 变形为 $\sqrt{3} \cdot \sqrt{4-t}+\sqrt{t}$ ，再利用柯西不等式可得 $\sqrt{-3 t+12}+\sqrt{t}$ 的最大值．

试题解析：（I）由 $|x+a|<b$ ，得 $-b-a<x<b-a$则 $\left\{\begin{array}{l}-b-a=2, \\ b-a=4,\end{array}\right.$ 解得 $a=-3, b=1$
（II）$\sqrt{-3 t+12}+\sqrt{t}=\sqrt{3} \sqrt{4-t}+\sqrt{t} \leq \sqrt{\left[(\sqrt{3})^{2}+1^{2}\right]+\left[(\sqrt{4-t})^{2}+(\sqrt{t})^{2}\right]}$

$=2 \sqrt{4-t+t}=4$
当且仅当 $\frac{\sqrt{4-t}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{t}}{1}$ ，即 $t=1$ 时等号成立，
故 $(\sqrt{-3 t+12}+\sqrt{t})_{\text {max }}=4$ ．
考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式．
【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式和柯西不等式，属于容易题。解题时一定要注意不等式与方程的区别，否则很容易出现错误。零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值。用柯西不等式证明或求最值要注意：①所给不等式的形式是否与柯西不等式的兴致一致，若不一致，需要将所给式子变形；②等号成立的条件．