（本小题满分 13 分） 如图，在长方体 A B C D-…——2012 高考数学第 17 题答案解析

## 【解析】

①以点 $A$ 为原点建立如图的空间直角坐标系，设 $A B=a$ ，则 $A(0,0,0), D(0,1,0), D_{1}(0,1,1), E\left(\frac{a}{2}, 1,0\right), B_{1}(a, 0,1)$ ，
$\therefore \overrightarrow{A D_{1}}=(0,1,1), \overrightarrow{B_{1} E}=\left(-\frac{a}{2}, 1,-1\right), \overrightarrow{A B_{1}}=(a, 0,1), \overrightarrow{A E}=\left(\frac{a}{2}, 1,0\right)$ ，
$\because \overrightarrow{A D_{1}} \cdot \overrightarrow{B_{1} E}=-\frac{a}{2} \times 0+1 \times 1+(-1) \times 1=0, \therefore B_{1} E \perp A D_{1}$ ．
②假设在棱上存在一点 $P(0,0, t)$ ，使得 $D P / /$ 平面 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{AE}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{DP}}=(0,-1, t)$ ，
设平面 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{AE}$ 的法向量为 $\vec{n}=(x, y, z) . \because \vec{n} \perp$ 平面 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{AE}, \therefore \vec{n} \perp A \mathrm{~B}_{1}, \vec{n} \perp \overrightarrow{A E}$ ， $\therefore\left\{\begin{array}{l}a x+z=0 \\ \frac{a x}{2}+y=0\end{array}\right.$ ，取 $x=1$, 得 $\vec{n}=\left(1,-\frac{a}{2},-a\right)$ ．要使 $D P / /$ 平面 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{AE}$ ，只要 $\vec{n} \perp \overrightarrow{D P}$ ，
$\therefore \frac{a}{2}-a t=0, t=\frac{1}{2}$ ，又 $D P \not \subset$ 平面 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{AE}, \therefore$ 存在点 $P$ 使 $D P / /$ 平面 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{AE}$ ，此时 $A P=\frac{1}{2}$ ．
③连接 $A_{1} D, B_{1} C$ ，由长方体及 $A A_{1}=A D=1$ ，得 $A D \perp A D_{1}$ ，
$\because B_{1} C / / A_{1} D, \therefore A D_{1} \perp B_{1} C$ ，由①知 $B_{1} E \perp A D_{1}, \therefore A D_{1} \perp$ 平面 $D C B_{1} A_{1}$ ，
$\overrightarrow{A D_{1}}$ 是平面 $D C B_{1} A_{1}$ 的法向量， $\overrightarrow{A D_{1}}=(0,1,1)$ ，则 $\cos \left\langle\overrightarrow{A D_{1}}, \vec{n}\right\rangle=\frac{\overrightarrow{A D_{1}} \cdot \vec{n}}{\left|\overrightarrow{A D_{1}}\right| \cdot|\vec{n}|}=\frac{-\frac{a}{2}-a}{\sqrt{2} \sqrt{1+\frac{a^{2}}{4}+a^{2}}}$ ．
∵ 二面角是 $30^{\circ}, \therefore \cos 30^{\circ}=\left|\cos \left\langle\overrightarrow{A D_{1}}, \vec{n}\right\rangle\right|, \therefore \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{a}{2}+a}{\sqrt{2} \sqrt{1+\frac{a^{2}}{4}+a^{2}}}, \therefore a=2$ ，即 $A B=2$ ．
【考点定位】本题考查直线与直线、直线与平面以及二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化化归思想。