【解答】
（5分）（2016•天津）已知双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ ）的焦距为 $2 { \sqrt { 5 } } ,$ ，且双曲
线的一条渐近线与直线 $2 \mathbf { x } ^ { + } \mathbf { y } { = } 0$ 垂直，则双曲线的方程为（ ）
A $\frac { { \bf x } ^ { 2 } } { 4 } - { \bf y } ^ { 2 } = 1$ B $\mathbf { x } ^ { 2 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 4 } = 1$
C $\frac { 3 \mathbf { x } ^ { 2 } } { 2 0 } - \frac { 3 \mathbf { y } ^ { 2 } } { 5 } = 1$ D． $\frac { 3 \mathbf { x } ^ { 2 } } { 5 } - \frac { 3 \mathbf { y } ^ { 2 } } { 2 0 } = 1$
【分析】利用双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ ）的焦距为2 ${ \sqrt { 5 } } ,$ ，且双曲线的一条渐近线与直线 $2 \mathbf { x } + \mathbf { y } { = } 0$ 垂直，求出几何量a，b，c，即可求出双曲线的方程
【解答】解：∵双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的焦距为 $1 2 \sqrt { 5 }$
$$
\therefore c = { \sqrt { 5 } } ,
$$
∵双曲线的一条渐近线与直线 $2 \mathbf { x } ^ { + } \mathbf { y } { = } 0$ 垂直，
$\therefore \frac { b } { a } = \frac { 1 } { 2 } ,$
$\therefore a = 2 b ,$
$\because c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$
∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为 $\frac { { \bf x } ^ { 2 } } { 4 } - { \bf y } ^ { 2 } = 1$
故选：A
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键