在 A B C 中， A C = 3 , B C = 4…——2022 高考数学第 10 题答案解析

【答案】D

【解析】

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 $P \big ( \cos \theta , \sin \theta \big )$ ，表示出 ${ \overrightarrow { P A } } , { \overrightarrow { P B } }$ ，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 $C \big ( 0 , 0 \big )$ ,A(3,0), $B \left( 0 , 4 \right)$

因为 $P C = 1$ ，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，

设 $P \left( \cos \theta , \sin \theta \right) , \theta \in \left[ 0 , 2 \pi \right]$

所以 $\overrightarrow { P A } = \left( 3 - \cos \theta , - \sin \theta \right) , \overrightarrow { P B } = \left( - \cos \theta , 4 - \sin \theta \right)$

所以 $\overrightarrow { P A } \cdot \overrightarrow { P B } = ( - \cos \theta ) \times ( 3 - \cos \theta ) + ( 4 - \sin \theta ) \times ( - \sin \theta )$

$$ = \cos^ {2} \theta - 3 \cos \theta - 4 \sin \theta + \sin^ {2} \theta $$

$$ = 1 - 3 \cos \theta - 4 \sin \theta $$

$= 1 - 5 \sin \left( \theta + \varphi \right)$ ，其中 $\sin \varphi = \frac { 3 } { 5 }$ $\cos \varphi = \frac { 4 } { 5 }$

因为 $- 1 \leq \sin { \left( \theta + \varphi \right) } \leq 1$ ，所以 $- 4 \leq 1 - 5 \sin { \left( \theta + \varphi \right) } \leq 6$ ，即 $\overrightarrow { P A } \cdot \overrightarrow { P B } \in \left[ - 4 , 6 \right]$ ；

故选：D

第二部分（非选择题 共 110分）