17.如图，在三棱台 DEF-ABC 中，AB=2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点。
（Ⅰ）求证：BC//平面 FGH；
（Ⅱ）若 CF⊥平面 ABC，AB⊥BC，CF=DE， $\angle B \mathrm { A C } = 4 5 ^ { \circ }$ ，求平面 FGH与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小。
（I）详见解析；（II） $6 0 ^ { \circ }$ 解析过程： （I）证法一：连接 设DG CD, . $C D \cap G F = M$ ,连接 ，MH 在三棱台 $D E F - A B C$ 中， 分别为 的中点，可得AB DE G= 2 ， AC $D F / / G C , D F = G C$ ，所以四边形是平行四边形，DFCG 则 为 的中点，又 是 的中点，所以M CD H BC $H M / / B D$ 又 $H M \subset \cdot$ 平面 ， 平面 ，所以 平面FGH BD Ë FGH BD/ /$F G H$ 
证法二：在三棱台 $D E F - A B C$ 中， 由 $B C = 2 E F , H$ 为 的中点，BC 可得 $B H / / E F , B H = E F$ 所以 为平行四边形，可得HBEF $B E / / H F$ 在 $\Delta A B C$ 中， 分别为 的中点，G H， AC BC， 所以 $G H / / A B ,$ 又 $G H \cap H F = H$ 所以平面 平面 ，FGH / / ABED 因为 平面 ，BD Ì ABED 所以 平面 .BD / / FGH （Ⅱ）解法一：设 ，则AB = 2 CF =1 在三棱台 $D E F - A B C$ 中， 为 的中点G AC 由 ${ D F } = \frac { 1 } { 2 } A C = G C$ 可得四边形 为平行四边形，DGCF 因此 $D G / / C F$ 又 平面FC ^ ABC 所以 平面DG ^ ABC 在 中，由 DABC $A B \bot B C , \angle B A C = 4 5 ^ { \circ }$ ， 是 中点， G AC 所以 $A B = B C , G B \bot G C$ 因此 $G B , G C , G D$ 两两垂直, 以 为坐 标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G$G - x y z$ 所以 $G \big ( 0 , 0 , 0 \big ) , B \Big ( \sqrt { 2 } , 0 , 0 \Big ) , C \Big ( 0 , \sqrt { 2 } , 0 \Big ) , D \big ( 0 , 0 , 1 \big )$ 可得 $H \left( \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } , \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } , 0 \right) , F \left( 0 , \sqrt { 2 } , 1 \right)$ 故 $\overrightarrow { G H } = \left( \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } , \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } , 0 \right) , \overrightarrow { G F } = \left( 0 , \sqrt { 2 } , 1 \right)$ 设 $\stackrel { } { n } = ( x , y , z )$ 是平面 的一个法向量，则FGH 由 $\left\{ { \begin{array} { l } { { \vec { n } } \cdot { \overrightarrow { G H } } = 0 , } \\ { { \vec { n } } \cdot { \overrightarrow { G F } } = 0 , } \end{array} } \right.$ 可得 $\displaystyle { \int } \imath + \jmath = 0$ 可得平面 的一个法向量FGH $\stackrel { } { n } = ( 1 , - 1 , { \sqrt { 2 } } )$ 因为 $\overrightarrow { G B }$ 是平面 的一个法向量，ACFD $\overrightarrow { G B } = \left( \sqrt { 2 } , 0 , 0 \right)$ 所以 $\cos < \overrightarrow { G B } , \stackrel { } { n } > = \frac { \overrightarrow { G B } \cdot \stackrel { } { n } } { | \overrightarrow { G B } | \cdot | \stackrel { } { n } | } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 \sqrt { 2 } } = \frac { 1 } { 2 }$ 所以平面与平面所成的解(锐角)的大小为 $6 0 ^ { \circ }$ 解法二： 作 $H M \perp A C$ 于点 ，作 M $M N \perp G F$ 于点 ，连N 接 NH 由 平面 ，得FC ^ ABC $H M \perp F C$ 又 $F C \cap A C = C$ 所以 $H M \perp$ 平面 ACFD 因此 $G F \perp N H$ 所以 $\angle M N H$ 即为所求的角 
在 中,DBGC $M H / / B G , M H = \frac { 1 } { 2 } B G = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ 由 $\Delta G N M \setminus \Delta G C F$ 可得 ${ \frac { M N } { F C } } { = } { \frac { G M } { G F } }$ 从而 $M N = \frac { \sqrt { 6 } } { 6 }$ ，由MH ^平面ACFD，MN Ì平面ACFD得 $M H \bot M N$ ，所以 $\tan \angle M N H = \frac { H M } { M N } = \sqrt { 3 }$ ，所以 $\angle M H N = 6 0 ^ { \circ }$ 所以平面 $F G H $ 平面ACFD所成角（锐角）的大小为 $6 0 ^ { 0 }$