已知函数 f ( x ) = x ^ 3 - x + 1，…——2022 高考数学第 10 题答案解析

【分析】利用极值点的定义可判断A，结合f x( ) 的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断 D.【详解】由题， $f ^ { \prime } ( x ) = 3 x ^ { 2 } - 1$ ，令 $f ^ { \prime } ( x ) > 0$ 得 $x > \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ 或 $x < - \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ 令 $f ^ { \prime } ( x ) < 0$ 得 $- { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } } < x < { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } }$ 所以 f x( ) 在 $( - \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } , \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } )$ 上单调递减，在 $( - \infty , - \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } ) , ( \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } , + \infty )$ 上单调递增，所以 $x = \pm { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } }$ 是极值点，故A 正确；因 $f ( - \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } ) = 1 + \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 9 } > 0 , f ( \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } ) = 1 - \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 9 } > 0 , f \left( - 2 \right) = - 5 < 0 ,$ 所以，函数 $f ( x ) \not \equiv \left( - \infty , - { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } } \right)$ 上有一个零点，当 $x \geq \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ 时， $f ( x ) \geq f \left( { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } } \right) > 0$ ，即函数 $f \left( x \right) \not \equiv \left( { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } } , + \infty \right)$ 上无零点，综上所述，函数f x( )有一个零点，故B错误；令 $h ( x ) = x ^ { 3 } - x$ ，该函数的定义域为R， $h \left( - x \right) = \left( - x \right) ^ { 3 } - \left( - x \right) = - x ^ { 3 } + x = - h \left( x \right)$ 则h x( ) 是奇函数，(0,0) 是h x( ) 的对称中心，将h x( )的图象向上移动一个单位得到f x( )的图象，所以点(0,1)是曲线 $y = f ( x )$ 的对称中心，故C正确；令 $f ^ { \prime } { \bigl ( } x { \bigr ) } = 3 x ^ { 2 } - 1 = 2$ ，可得 $x = \pm 1$ ，又 $f ( 1 ) = f { \bigl ( } - 1 { \bigr ) } = 1$ 当切点为(1,1)时，切线方程为 $y = 2 x - 1$ ，当切点为( 1,1)- 时，切线方程为 $y = 2 x + 3$ 故D 错误.故选：AC