（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不…——2013 高考数学第 12 题答案解析

【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值

【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质

【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对A、B两项加以验证，可得它们都正确．根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得f $( { \bf x } ) { \bf \beta } = 2 \mathsf { s i n } \mathsf { x } ( { \bf \beta } 1 - \mathsf { s i n } ^ { 2 } \mathsf { x } )$ ，再换元：令t=sinx，得到关于t的三次函数，利用导数研究此函数的单调性可得f（x）的最大值为 $\frac { 4 { \sqrt { 3 } } } { 9 }$ ，故C不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得D项正确．由此可得本题的答案

【解答】解：对于A，因为f $\left( \pi ^ { + } x \right) ~ = \cos { ~ ( \pi ^ { + } x ) } ~ \sin { ~ ( 2 \pi ^ { + } 2 x ) } ~ = - ~ \cos { \sin } 2 x$

$\textbf { f } \left( \pi - \textbf { x } \right) \ = \mathbf { c o s } \ \left( \pi - \textbf { x } \right) \ \sin \ \left( 2 \pi - 2 \times \right) \ = \mathbf { c o s x s i n } 2 \times$ ，所以f $\left( \pi ^ { + } \times \right) \ + \mathbf { f } \ \left( \pi - \mathbf { x } \right) \ = 0$ 可得y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故A正确；

对于B，因为f $( \frac { \pi } { 2 } + x ) = \cos ( \frac { \pi } { 2 } + x ) \sin ( \pi + 2 x ) = - \sin x ( - \sin 2 x ) = \sin x \sin 2 x$

$\textbf { \textsf { f } } ( \frac { \pi } { 2 } - \textbf { \textsf { x } } ) = \cos \mathbf { \beta } ( \frac { \pi } { 2 } - \textbf { \textsf { x } } ) \sin \mathbf { \beta } ( \pi - 2 \mathbf { x } ) = \sin \mathbf { \beta } \sin 2 \mathbf { x } .$ ，所以f $( { \frac { \pi } { 2 } } + x ) = f ( { \frac { \pi } { 2 } } - x$ ），

可得 $\mathsf { \pmb { v } } { \mathsf { = } } { \mathsf { \pmb { f } } } \left( \mathsf { \pmb { x } } \right)$ 的图象关于直线 $x = \frac { \pi } { 2 }$ 对称，故B正确；

对于C，化简得 $\textbf { f } \left( \textbf { x } \right) \ = \cos \times \sin 2 \times = 2 \cos ^ { 2 } \times \sin \times = 2 \sin \times \ ( 1 - \sin ^ { 2 } \times )$

$\because \mathbf { g } ( \mathbf { t } ) = 2 \mathbf { t } ( \mathbf { 1 } - \mathbf { t } ^ { 2 } )$ 的导数 $\mathbf { g } ^ { \prime } ( \mathbf { t } ) \ = 2 \ - \ 6 \mathbf { t } ^ { 2 } = 2 ( \ 1 + \sqrt { 3 } \mathbf { t } ) ( \ 1 \ - \sqrt { 3 } \mathbf { t } )$

∴当t∈ $( - 1 , \quad - \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } )$ 时或 ${ \sf t } \in \ ( \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } , \ 1 )$ 时 $\mathbf { g } ^ { \prime } \mathbf { \Sigma } ^ { \prime } \left( \mathbf { t } \right) \mathbf { \Sigma } < 0$ ，函数g（t）为减函数；当t∈ $( - \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } , \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } )$ 时 $\mathbf { g } ^ { \prime } \mathbf { \Sigma } ^ { \prime } \left( \mathbf { t } \right) \mathbf { \Sigma } > 0$ ，函数g（t）为增函数因此函数g（t）的最大值为t=﹣1时或 $\mathrm { t } { = } \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ 时的函数值，

结合 $\mathbf { \widetilde { g } } \ \mathrm { ~ ( ~ - ~ } 1 \mathrm { ~ ) ~ } = 0 < \mathbf { g } \ \mathrm { ~ ( ~ } \frac { \sqrt { 3 } \mathrm { ~ ) ~ } } { 3 } \mathrm { ~ = ~ } \frac { 4 \sqrt { 3 } \mathrm { ~ } } { 9 \mathrm { ~ } }$ ，可得g（t）的最大值为 $\frac { 4 { \sqrt { 3 } } } { 9 }$

由此可得f（x）的最大值为 $\frac { 4 { \sqrt { 3 } } } { 9 }$ 而不是 $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ ，故C不正确；

对于D，因为f $( - \times ) = \cos ( - x ) \sin ( - 2 x ) = - \cos \times \sin 2 x = - \textbf { f } ( x )$ ，所以f（x）是奇函数

因为f $( 2 \pi ^ { + } \times ) = \cos ( 2 \pi ^ { + } x ) \sin ( 4 \pi ^ { + } 2 x ) = \cos \times \sin 2 x = f ( x )$

所以2π为函数的一个周期，得f（x）为周期函数．可得f（x）既是奇函数，又是周期函数，得D正确

综上所述，只有C项不正确

故选：C

【点评】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性．着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识，属于中档题