（5分）（2011 •辽宁）已知球的直径 S C=4, A…——2011 高考数学第 12 题答案解析

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】设球心为点 0 ，作 AB 中点 D ，连接 $\mathrm{OD}, \mathrm{CD}$ ，说明 SC 是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出 $S_{\triangle S C D}$ ，和棱锥的高 $A B$ ，即可求出棱锥的体积．

【解答】解：设球心为点 0 ，作 AB 中点 D ，连接 OD ， CD 因为线段 SC 是球的直径，
所以它也是大圆的直径，则易得：$\angle \mathrm{SAC}=\angle \mathrm{SBC}=90^{\circ}$
所以在Rt $\triangle \mathrm{SAC}$ 中， $\mathrm{SC}=4, \angle \mathrm{ASC}=30^{\circ}$ 得： $\mathrm{AC}=2, \mathrm{SA}=2 \sqrt{3}$
又在Rt $\triangle \mathrm{SBC}$ 中， $\mathrm{SC}=4, \angle \mathrm{BSC}=30^{\circ}$ 得： $\mathrm{BC}=2, \mathrm{SB}=2 \sqrt{3}$ 则： $\mathrm{SA}=\mathrm{SB}, \mathrm{AC}=\mathrm{BC}$
因为点 D 是 AB 的中点所以在等腰三角形 ASB 中， $\mathrm{SD} \perp \mathrm{AB}$ 且 $\mathrm{SD}=\sqrt{\mathrm{SA}^{2}-\mathrm{AD}^{2}}=\sqrt{12-\frac{3}{4}}=\frac{3 \sqrt{5}}{2}$
在等腰三角形 CAB 中， $\mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}$ 且 $\mathrm{CD}=\sqrt{\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{AD}^{2}}=\sqrt{4-\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$
又 SD 交 CD 于点 D 所以： $\mathrm{AB} \perp$ 平面 SCD 即：棱锥 $\mathrm{S}-\mathrm{ABC}$ 的体积： $\mathrm{V}=\frac{1}{3} \mathrm{AB} \bullet \mathrm{S}_{\triangle \mathrm{SCD}}$ ，

因为： $\mathrm{SD}=\frac{3 \sqrt{5}}{2}, \mathrm{CD}=\frac{\sqrt{13}}{2}, \mathrm{SC}=4$
所以由余弦定理得： $\cos \angle \mathrm{SDC}=\left(\mathrm{SD}^{2}+\mathrm{CD}^{2}-\mathrm{SC}^{2}\right) \frac{1}{2 \mathrm{SD} \cdot \mathrm{CD}}=\left(\frac{45}{4}+\frac{13}{4}-16\right)$
$\frac{1}{2 \times \frac{3 \sqrt{5}}{2} \times \frac{\sqrt{13}}{2}}=-\frac{6}{4} \frac{1}{\frac{3 \sqrt{65}}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{65}}$
则： $\sin \angle \mathrm{SDC}=\sqrt{1-\cos ^{2} \angle \mathrm{SDC}}=\frac{8}{\sqrt{65}}$
由三角形面积公式得 $\triangle \mathrm{SCD}$ 的面积 $\mathrm{S}=\frac{1}{2} \mathrm{SD} \cdot \mathrm{CD} \cdot \sin \angle \mathrm{SDC}=\frac{1}{2} \times \frac{3 \sqrt{5}}{2} \times \frac{\sqrt{13}}{2} \times \frac{8}{\sqrt{65}}=3$
所以：棱锥 $\mathrm{S}-\mathrm{ABC}$ 的体积： $\mathrm{V}=\frac{1}{3} \mathrm{AB} \cdot \mathrm{S}_{\triangle \mathrm{SCD}}=\frac{1}{3} \times \sqrt{3} \times 3=\sqrt{3}$
故选C

【点评】本题是中档题，考查球的内接棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力 ，有难度的题目，常考题型．