（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱 ABC -…——2015 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
（14分）

考点 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．

## ：

专题 证明题；空间位置关系与距离．

## ：

分析（1）根据中位线定理得 $\mathrm{DE} \| \mathrm{AC}$ ，即证 $\mathrm{DE} \|$ 平面 $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ ；
：（2）先由直三棱柱得出 $\mathrm{CC}_{1} \perp$ 平面 ABC ，即证 $\mathrm{AC} \perp \mathrm{CC}_{1}$ ；再证明 $\mathrm{AC} \perp$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ，即证 $\mathrm{BC}_{1} \perp \mathrm{AC}$ ；最后证明 $\mathrm{BC}_{1} \perp$ 平面 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{AC}$ ，即可证出 $\mathrm{BC}_{1} \perp \mathrm{AB}_{1}$ ．
解答 证明：①根据题意，得；
： E 为 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{C}$ 的中点， D 为 $\mathrm{AB}_{1}$ 的中点，所以 $\mathrm{DE} \| \mathrm{AC}$ ；
又因为 $\mathrm{DE} \not \subset$ 平面 $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}, \mathrm{ACC}$ 平面 $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ ，
所以 $\mathrm{DE} \|$ 平面 $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ ；
（2）因为棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 是直三棱柱，
所以 $\mathrm{CC}_{1} \perp$ 平面 ABC ，
因为 $\mathrm{ACC} \subset$ 平面 ABC ，
所以 $\mathrm{AC} \perp \mathrm{CC}_{1}$ ；
又因为 $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BC}$ ，
$\mathrm{CC}_{1} \subset$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ，
BCC 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ，
$\mathrm{BC} \cap \mathrm{CC}_{1}=\mathrm{C}$ ，
所以 $\mathrm{AC} \perp$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ；
又因为 $\mathrm{BC}_{1} \subset$ 平面平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ，
所以 $\mathrm{BC}_{1} \perp \mathrm{AC}$ ；
因为 $\mathrm{BC}=\mathrm{CC}_{1}$ ，所以矩形 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ 是正方形，
所以 $\mathrm{BC}_{1} \perp$ 平面 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{AC}$ ；
又因为 $\mathrm{AB}_{1} \subset$ 平面 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{AC}$ ，
所以 $\mathrm{BC}_{1} \perp \mathrm{AB}_{1}$ ．
点评 本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象

## ：能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．