2015 江苏卷 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）（2015•江苏）已知集合 $\mathrm{A}=\{1,2,3\}, \mathrm{B}=\{2,4,5\}$ ，则集合 $\mathrm{A} \cup \mathrm{B}$ 中元素的个数为 $\_\_\_\_$。

2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据 $4,6,5,8,7,6$ ，那么这组数据的平均数为 $\_\_\_\_$ •

3．（5分）（2015•江苏）设复数 $z$ 满足 $z^{2}=3+4 i$（ $i$ 是虚数单位），则 $z$ 的模为 $\_\_\_\_$

4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 $\_\_\_\_$ ． 

5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、 1 只红球、 2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 $\_\_\_\_$。

6．（5分）（2015•江苏）已知向量 $\vec{a}=(2,1), \vec{b}=(1,-2)$ ，若 $m \vec{a}+n \vec{b}=(9,-8)$ （ $m$ ，$n \in R$ ），则 $m-n$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

7．（5分）（2015•江苏）不等式 $2 x^{2}-x<4$ 的解集为 $\_\_\_\_$ ．

8．（5分）（2015•江苏）已知 $\tan \alpha=-2, \tan (\alpha+\beta)=\frac{1}{7}$ ，则 $\tan \beta$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为 5 ，高为 4 的圆锥和底面半径为 2 ，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 $\_\_\_\_$。

10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，以点 $(1,0)$ 为圆心且与直线 $\mathrm{mx}-\mathrm{y} -2 m-1=0 \quad(m \in R)$ 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 $\_\_\_\_$。

11．（5分）（2015•江苏）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1$ ，且 $a_{n+1}-a_{n}=n+1 \quad\left(n \in N^{*}\right)$ ，则数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$的前 10 项的和为 $\_\_\_\_$。

12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中， P 为双曲线 $\mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2}=1$ 右支上的一个动点，若点 $P$ 到直线 $x-y+1=0$ 的距离大于 $c$ 恒成立，则实数 $c$ 的最大值为 $\_\_\_\_$。

13．（5分）（2015•江苏）已知函数 $f(x)=|\ln x|, g(x)=\left\{\begin{array}{l}0,0<x \leqslant 1 \\ \left|x^{2}-4\right|-2, x>1\end{array}\right.$ ，则方程 $|\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{g}(\mathrm{x})|=1$ 实根的个数为 $\_\_\_\_$ ．

14．（5分）（2015•江苏）设向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}_{\mathrm{k}}}=\left(\cos \frac{\mathrm{k} \pi}{6}, \sin \frac{\mathrm{k} \pi}{6}+\cos \frac{\mathrm{k} \pi}{6}\right)(\mathrm{k}=0,1,2, \ldots, 12$ ），则 $\sum_{k=0}^{11}\left(a_{k} \cdot a_{k+1}\right)$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

15．（14分）（2015•江苏）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，已知 $\mathrm{AB}=2, \mathrm{AC}=3, \mathrm{~A}=60^{\circ}$ ． （1）求 BC 的长； （2）求 $\sin 2 \mathrm{C}$ 的值．

16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中，已知 $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{BC}=\mathrm{CC}_{1}$ ，设 $\mathrm{AB}_{1}$ 的中点为 $\mathrm{D}, \mathrm{B}_{1} \mathrm{C} \cap \mathrm{BC}_{1}=\mathrm{E}$ ． 求证： ① $\mathrm{DE} \|$ 平面 $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ ； （2） $\mathrm{BC}_{1} \perp \mathrm{AB}_{1}$ ． 

17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 $l_{1}, l_{2}$ ，山区边界曲线为 C ，计划修建的公路为 l ，如图所示， $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 为 C 的两个端点，测得点 $M$ 到 $l_{1}, l_{2}$ 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 $N$ 到 $l_{1}, l_{2}$ 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米， 以 $\mathrm{l}_{2}, \mathrm{l}_{1}$ 在的直线分别为 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 轴，建立平面直角坐标系 xOy ，假设曲线 C 符合函数 $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{b}}$（其中 $a$ ，$b$ 为常数）模型。 （1）求 $a$ ，$b$ 的值； ②设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t ． （1）请写出公路 1 长度的函数解析式 $\mathrm{f}(\mathrm{t})$ ，并写出其定义域； （2）当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度． 

18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>$ 0 ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且右焦点 F 到左准线 1 的距离为 3 ． （1）求椭圆的标准方程； （2）过 F 的直线与椭圆交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 $l$ 和 AB 于点 $\mathrm{P}, \mathrm{C}$ ，若 $\mathrm{PC}=2 \mathrm{AB}$ ，求直线 AB 的方程． 

19．（16分）（2015•江苏）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}+\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{b} ~(\mathrm{a}, ~ \mathrm{~b} \in \mathrm{R}) ~$. （1）试讨论 $f(x)$ 的单调性； （2）若 $\mathrm{b}=\mathrm{c}-\mathrm{a}$（实数 c 是与 a 无关的常数），当函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 有三个不同的零点时， a 的取值范围恰好是 $(-\infty,-3) \cup\left(1, \frac{3}{2}\right) \cup\left(\frac{3}{2},+\infty\right)$ ，求 c 的值。

20．（16分）（2015•江苏）设 $a_{1}, a_{2}, a_{3} . a_{4}$ 是各项为正数且公差为 $d(d \neq 0)$ 的等差数列 （1）证明： $2^{a_{1}}, 2^{a_{2}}, 2^{a_{3}}, 2^{a_{4}}$ 依次构成等比数列； （2）是否存在 $a_{1}, d$ ，使得 $a_{1}, a_{2}{ }^{2}, a_{3}{ }^{3}, a_{4}{ }^{4}$ 依次构成等比数列？并说明理由； （3）是否存在 $a_{1}, d$ 及正整数 $n, k$ ，使得 $a_{1}{ }^{n}, a_{2}{ }^{n+k}, a_{3}{ }^{n+2 k}, a_{4}{ }^{n+3 k}$ 依次构成等比数列？并说明理由。 三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21－ 24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4－1：几何证明选讲】

21．（10分）（2015•江苏）如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}, ~ \triangle \mathrm{ABC}$ 的外接圆 $\odot \mathrm{O}$ 的弦 AE 交 B C 于点D． 求证：$\triangle \mathrm{ABD} \sim \triangle \mathrm{AEB}$ ． 

22．（10分）（2015•江苏）已知 $x, y \in R$ ，向量 $\vec{\alpha}=\left[\begin{array}{l}1 \\ -1\end{array}\right]$ 是矩阵 $\left[\begin{array}{ll}x & 1 \\ y & 0\end{array}\right]$ 的属于特征值 -2的一个特征向量，求矩阵 A 以及它的另一个特征值．

23．（2015•江苏）已知圆 C 的极坐标方程为 $\rho^{2}+2 \sqrt{2} \rho \sin \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)-4=0$ ，求圆 C 的半径．

24．（2015•江苏）解不等式 $x+|2 x+3| \geq 2$ ． ## 【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤

25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中，已知 $\mathrm{PA} \perp$ 平面 ABCD ，且四边形 ABCD 为直角梯形，$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BAD}=\frac{\pi}{2}, \mathrm{PA}=\mathrm{AD}=2, \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=1$ ． （1）求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值； （2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段 BQ 的长． 

26．（10分）（2015•江苏）已知集合 $\mathrm{X}=\{1,2,3\}, \mathrm{Y}_{\mathrm{n}}=\{1,2,3, \ldots, \mathrm{n}) ~\left(\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}\right)$ ，设 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\left\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \mid \mathrm{a}\right.$ 整除 b 或整除 $\left.\mathrm{a}, ~ \mathrm{a} \in \mathrm{X}, ~ \mathrm{~B} \in \mathrm{Y}_{\mathrm{n}}\right\}$ ，令 $\mathrm{f}(\mathrm{n})$ 表示集合 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 所含元素的个数。 （1）写出 f （6）的值； （2）当 $n \geq 6$ 时，写出 $f(n)$ 的表达式，并用数学归纳法证明． ## 2015年江苏省高考数学试卷