设 O 为坐标原点, 直线 y = - 3 (x - 1)…——2023 高考数学第 10 题答案解析

【答案】AC

【解析】

【分析】先求得焦点坐标，从而求得 $p$ ，根据弦长公式求得 $\left|MN\right|$ ，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.

【详解】A 选项：直线 $y = -\sqrt{3}(x - 1)$ 过点 $(1, 0)$ ，所以抛物线 $C: y^{2} = 2px (p > 0)$ 的焦点 $F(1, 0)$ ，所以 $\frac{p}{2} = 1, p = 2, 2p = 4$ ，则 A 选项正确，且抛物线 C 的方程为 $y^{2} = 4x$ 。

B 选项：设 $M(x_{1}, y_{1}), N(x_{2}, y_{2})$ ,

$\left\{\begin{aligned}y&=-\sqrt{3}(x-1)\\ y^{2}&=4x\end{aligned}\right.$ 消去y并化简得 $3x^{2}-10x+3=(x-3)(3x-1)=0$ ,

解得 $x_{1}=3, x_{2}=\frac{1}{3}$ ，所以 $\left|MN\right|=x_{1}+x_{2}+p=3+\frac{1}{3}+2=\frac{16}{3}$ ，B 选项错误.

C 选项：设 MN 的中点为 A，M, N, A 到直线 l 的距离分别为 $d_{1}, d_{2}, d$ ，

因为 $d = \frac{1}{2}\big(d_1 + d_2\big) = \frac{1}{2}\big(\big|MF\big| + \big|NF\big|\big) = \frac{1}{2}\big|MN\big|$

即 A 到直线 l 的距离等于 MN 的一半，所以以 MN 为直径的圆与直线 l 相切，C 选项正确.
D 选项：直线 $y = -\sqrt{3}(x - 1)$ ，即 $\sqrt{3}x + y - \sqrt{3} = 0$ ，

$O$ 到直线 $\sqrt{3} x + y - \sqrt{3} = 0$ 的距离为 $d = \frac{\sqrt{3}}{2}$

所以三角形 OMN 的面积为 $\frac{1}{2} \times \frac{16}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ ,

由上述分析可知 $y_{1} = -\sqrt{3}(3 - 1) = -2\sqrt{3}, y_{2} = -\sqrt{3}\left(\frac{1}{3} - 1\right) = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ ,

$$ \left| O M \right| = \sqrt {3 ^ {2} + \left(- 2 \sqrt {3}\right) ^ {2}} = \sqrt {2 1}, \left| O N \right| = \sqrt {\left(\frac {1}{3}\right) ^ {2} + \left(\frac {2 \sqrt {3}}{3}\right) ^ {2}} = \frac {\sqrt {1 3}}{3} $$

所以三角形 OMN 不是等腰三角形，D 选项错误.

故选：AC.