已知 A B C 的内角 A, B, C 满足 sin 2…——2014 高考数学第 10 题答案解析

【答案】A

【解析】

试题分析：由题设得： $\sin 2 A+\sin (\pi-2 B)=\sin (2 C-\pi)+\frac{1}{2} \Rightarrow \sin 2 A+\sin 2 \mathrm{~B}+\sin 2 C=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \sin (2 \pi-(2 B+2 C))+\sin 2 \mathrm{~B}+\sin 2 C=\frac{1}{2} \Rightarrow \sin 2 \mathrm{~B}+\sin 2 C-\sin (2 B+2 C)=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \sin 2 B(1-\cos 2 C)+\sin 2 C(1-\cos 2 \mathrm{~B})=\frac{1}{2} \Rightarrow 4 \sin B \sin C(\sin B \cos C+\cos B \sin C)=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \sin A \sin B \sin C=\frac{1}{8}$

由三角形面积公式 $s=\frac{1}{2} a b \sin C$ 及正弦定理得 ：$s=\frac{1}{2} \times 4 R^{2} \sin A \sin B \sin C$
所以 $R^{2}=4 \mathrm{~s}$ ，又因为 $1 \leq s \leq 2$ ，所以 $4 \leq R^{2} \leq 8$ ，
所以 $b c(b+c)=a b c \times \frac{b+c}{a}=8 R^{3} \sin A \sin B \sin C \times \frac{b+c}{a}>R^{3}$ 恒成立，所以 $b c(b+c)>8$
故选 A。
考点：1、两角和与差的三角函数；2、正弦定理；3、三角形的面积公式．