（本小题满分 12 分） A B C 中， A, B, C…——2009 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
解：（1）因为 $\tan C=\frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}$ ，即 $\frac{\sin C}{\cos C}=\frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}$ ，
所以 $\sin C \cos A+\sin C \cos B=\cos C \sin A+\cos C \sin B$ ，
即 $\sin C \cos A-\cos C \sin A=\cos C \sin B-\sin C \cos B$ ，
得 $\sin (C-A)=\sin (B-C)$ ．所以 $C-A=B-C$ ，或 $C-A=\pi-(B-C)$（不成立）。

即 $2 C=A+B$ ，得 $C=\frac{\pi}{3}$ ，所以。 $B+A=\frac{2 \pi}{3}$
又因为 $\sin (B-A)=\cos C=\frac{1}{2}$ ，则 $B-A=\frac{\pi}{6}$ ，或 $B-A=\frac{5 \pi}{6}$（舍去）
得 $A=\frac{\pi}{4}, B=\frac{5 \pi}{12}$
②$S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a c \sin B=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{8} a c=3+\sqrt{3}$
又 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ ，即 $\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ，
得 $a=2 \sqrt{2}, c=2 \sqrt{3}$ ．