（20分）有两个完全相同的小滑块A和B，A沿光滑水平面以速…——2008 高考物理第 12 题答案解析

【解答】
（20分）有两个完全相同的小滑块A和B，A沿光滑水平面以速度 $\mathbf { V } _ { 0 } \cdot$ 与静止在平面边缘O点的B发生正碰，碰撞中无机械能损失．碰后B运动的轨迹为OD曲线，如图所示

（1）已知滑块质量为m，碰撞时间为 $1 \triangle { \sf t }$ ，求碰撞过程中A对B平均冲力的大小

（2）为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，特制做一个与B平抛轨道完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与OD曲线重合的位置，让A沿该轨道无初速下滑（经分析，A下滑过程中不会脱离轨道）

a．分析A沿轨道下滑到任意一点的动量 $\mathbf { \dot { p } _ { A } }$ 与B平抛经过该点的动量 $\mathbf { \dot { p } _ { B } }$ 的大小关系；

b．在OD曲线上有一M点，O和M两点连线与竖直方向的夹角为 $4 5 ^ { \circ }$ ．求A通过M点时的水平分速度和竖直分速度

【考点】43：平抛运动；53：动量守恒定律；6C：机械能守恒定律

【专题】16：压轴题；52G：动量和能量的综合

【分析】（1）AB滑块在碰撞的过程中动量守恒，根据动量守恒可以求得碰后B的速度的大小，在由动量定理可以求得AB之间的相互的作用力的大小；

> ②a、A滑块在运动的过程中，只有重力做功，它的机械能守恒，而B做的是平抛运动，B有一个水平方向的初速度，所以在任意的一个位置，B的合速度都要比A的速度大，由此可以分析它们的动量的关系；

b、M点在平抛运动的轨迹上，所以M点水平的位移和竖直方向上的位移满足平抛运动的规律，再根据B滑块做的是平抛运动，可以求得在M点的水平速度和竖直速度之间的关系

【解答】解：（1）滑动A与B正碰，满足

$$ \mathrm { \ m v { _ A } - m V _ { B } { = } m v _ { 0 } \textcircled { 1 } } $$

$$ \frac { 1 } { 2 } \mathrm { m v _ { A } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { m v _ { B } } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { m v _ { 0 } } \textcircled { 2 } $$

由 $\textcircled{1} \textcircled{2}$ ，解得 $\mathrm { \Delta \ v _ { A } = 0 , \Delta \ v _ { B } = v _ { 0 } , }$

根据动量定理，滑块B满足 $\mathrm { F } { \bullet } \triangle { \sf t } { = } { \bf m } { \bf v } _ { 0 }$

解得 $\mathrm { F = } \frac { \mathfrak { m } \mathfrak { v } _ { \bar { 0 } } } { \triangle \mathfrak { t } }$

所以碰撞过程中A对B平均冲力的大小为 $\frac { \mathfrak { m } \mathfrak { v } _ { \bar { 0 } } } { \triangle \mathfrak { t } }$

> ②a．设任意点到O点竖直高度差为d

A、B由O点分别运动至该点过程中，只有重力做功，所以机械能守恒

选该任意点为势能零点，有

$$ \mathrm { E _ { A } \mathrm { = } m g d , ~ \mathrm { E _ { B } \mathrm { = } m g d + \frac { 1 } { 2 } m v _ { 0 } } ^ { 2 } } $$

由于 $\scriptstyle \mathtt { p } = \sqrt { 2 \mathtt { m E } _ { \mathtt { K } } } ,$

有 $\frac { \mathrm { \partial } \mathrm { P _ { A } } } { \mathrm { \partial } \mathrm { P _ { B } } } { = } \sqrt { \frac { \mathrm { E _ { K A } } } { \mathrm { E _ { K B } } } } { = } \sqrt { \frac { \mathrm { \partial } 2 \mathrm { g } \mathrm { d } } { \mathrm { \partial } \mathrm { y } _ { \mathrm { 0 } } ^ { 2 } + 2 \mathrm { g } \mathrm { d } } } { < } 1 ,$

即 $\mathrm { P _ { A } } { < } \mathrm { P _ { B } }$

所以A下滑到任意一点的动量总和是小于B平抛经过该点的动量

b．以O为原点，建立直角坐标系xOy，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向下，则对B有

$\mathbf { \boldsymbol { x } } \mathbf { = } \mathbf { \boldsymbol { v } } _ { 0 } \mathbf { \boldsymbol { t } } ,$

$$ \mathrm { { y } = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { { g t } ^ { 2 } } } $$

B的轨迹方程 $\mathrm { y } { = } \frac { \mathrm { \Delta } \mathfrak { g } } { 2 \mathrm { v } _ { \mathbb { 0 } } ^ { 2 } } \mathrm { x } ^ { 2 }$

在M点 $\tt X ^ { = } \tt y$ ，所以 $\mathrm { y } { = } \frac { 2 \mathrm { v } _ { \bar { 0 } } ^ { 2 } } { \mathrm { g } }$ ③

因为A、B的运动轨迹均为OD曲线，故在任意一点，两者速度方向相同

设B水平和竖直分速度大小分别为 $\mathsf { I v } _ { \mathrm { B x } }$ 和 $\mathsf { I } _ { \mathrm { V } _ { \mathrm { B y } } }$ ，速率为 $\lceil \mathbf { V } _ { \mathrm { B } } \colon$

A水平和竖直分速度大小分别为 $\mathsf { I V } _ { \mathrm { A X } }$ 和 $\mathbf { V _ { A y } }$ ，速率为 $\mathbf { \tilde { V } _ { A } }$ ，则

$$ \frac { V _ { \mathrm { A X } } } { V _ { \mathrm { A } } } = \frac { V _ { \mathrm { B X } } } { V _ { \mathrm { B } } } , \frac { V _ { \mathrm { A Y } } } { V _ { \mathrm { A } } } = \frac { V _ { \mathrm { B Y } } } { V _ { \mathrm { B } } } \textcircled { 4 } $$

B做平抛运动，故 $\scriptstyle \mathrm { v _ { B x } = v _ { 0 } , } \mathrm { v _ { B y } = } \sqrt { 2 \mathrm { g y } } , \mathrm { v _ { B } = } \sqrt { \mathrm { v _ { 0 } ^ { 2 } + 2 g y } } \mathrm { ( 5 ) }$

对A由机械能守恒得 $\scriptstyle \mathbf { v } _ { \mathrm { A } } = { \sqrt { 2 \mathrm { g } \mathbf { y } } }$ ，⑥

由④⑤⑥得 $\mathrm { \Delta V _ { A x } = \frac { V _ { 0 } \sqrt { 2 g y } } { \sqrt { V _ { \mathrm { 0 } } ^ { 2 } + 2 g y } } , ~ \mathrm { v _ { A y } = \frac { 2 g y } { \sqrt { V _ { \mathrm { 0 } } ^ { 2 } + 2 g y } } } }$

将③代入得 $\mathrm { \Delta v _ { A x } = \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 } v _ { 0 } , \Delta v _ { A y } = \frac { 4 \sqrt { 5 } } { 5 } v _ { 0 } , }$

所以A通过M点时的水平分速度为 $\frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 } \mathbf { v } _ { 0 }$ ，竖直分速度的大小为 ${ \frac { 4 { \sqrt { 5 } } } { 5 } } \mathbf { v } _ { 0 }$

【点评】本题的第二问比较新颖，A沿着平抛轨迹的轨道运动，B做的是平抛运动，它们的运动的轨迹相同，但是在每个地方的速度的情况并不相同，主要的区别就在于B有一个水平的初速度；

在计算M点的水平和竖直速度的大小的时候，充分的利用了B做平抛运动的规律，本题是考查平抛运动规律的一道好题