2024_新课标I卷
12. 设双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的左右焦点分别为 $F _ { 1 } , \ F _ { 2 }$ ，过 $F _ { 2 }$ 作平行于<sup>y</sup>轴的直线交C于A，B 两点，若 $\mid F _ { 1 } A \mid = 1 3 , \mid A B \mid = 1 0$ ，则C的离心率为
$\frac { 3 } { 2 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】 $\frac { 3 } { 2 }$
【解析】
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出 $\left| A F _ { 2 } \right|$ ，结合双曲线第一定义求出 $\left| A F _ { 1 } \right|$ ，即可得到 $a , b , c$ 的值，从而求出离心率.
【详解】由题可知A B, , $F _ { 2 }$ 三点横坐标相等，设<sub>A</sub>在第一象限，将x c= 代入 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$
得 $\scriptstyle y = \pm { \frac { b ^ { 2 } } { a } }$ ，即 $A { \left( c , \frac { b ^ { 2 } } { a } \right) } , B { \left( c , - \frac { b ^ { 2 } } { a } \right) }$ ，故 $\left| A B \right| = \frac { 2 b ^ { 2 } } { a } = 1 0 \ : , \ : \ : \ : \left| A F _ { 2 } \right| = \frac { b ^ { 2 } } { a } = 5$
又 $\left| A F _ { 1 } \right| - \left| A F _ { 2 } \right| = 2 a$ ，得 $\left| A F _ { 1 } \right| = \left| A F _ { 2 } \right| + 2 a = 2 a + 5 = 1 3$ ，解得 $a = 4$ ，代入 ${ \frac { b ^ { 2 } } { a } } = 5$ 得 $b ^ { 2 } = 2 0$
故 $c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 3 6 ,$ ，即 $c = 6$ ，所以 $e = { \frac { c } { a } } = { \frac { 6 } { 4 } } = { \frac { 3 } { 2 } }$
故答案为： $\frac { 3 } { 2 }$
