15．椭圆 $r: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，焦距为 $2 c$．若直线 $y=\sqrt{3}(x+c)$ 与椭圆 r 的一个交点 $M$ 满足 $\angle M F_{1} F_{2}=2 \angle M F_{2} F_{1}$，则该椭圆的离心率等于
参考答案
$\sqrt{3}-1$
椭圆 r: x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 =…——2013 高考数学第 15 题答案解析
2013_退役省自主命题 (2013·文)
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圆锥曲线
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［答案］$\sqrt{3}-1$
［解析］注意到直线过点 $(-c, 0)$ 即为左焦点 $F_{1}$，又斜率为 $\sqrt{3}$，所以倾斜角为 $60^{0}$，即 $\angle M F_{1} F_{2}=60^{0}$.
又 $\angle M F_{1} F_{2}=2 \angle M F_{2} F_{1}$ 故 $\angle M F_{2} F_{1}=30^{\circ}$，那么
$\angle F_{2} M F_{1}=90^{\circ} . M F_{1}=F_{1} F_{2} \cdot \cos 60^{\circ}=2 c \cdot \frac{1}{2}=c, M F_{2}=F_{1} F_{2} \cdot \sin 60^{\circ}=2 c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} c$，
$e=\frac{2 c}{2 a}=\frac{2 c}{M F_{1}+M F_{2}}=\frac{2 c}{\sqrt{3} c+c}=\sqrt{3}-1$.
［ 考点定位］考查离心率的算法，要求学生要有敏锐的观察力，比如直线的特征．属于难题．
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