把函数 y=f(x) 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1…——2021 高考数学第 7 题答案解析

【答案】B

## 【解析】

【分析】解法一：从函数 $y=f(x)$ 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到
$y=f\left[2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right]$ ，即得 $f\left[2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right]=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ ，再利用换元思想求得 $y=f(x)$ 的解析表达式；
解法二：从函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 $y=f(x)$ 的解析表达式。

【详解】解法一：函数 $y=f(x)$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到 $y=f(2 x)$的图象，再把所得曲线向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度，应当得到 $y=f\left[2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right]$ 的图象，

根据已知得到了函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象，所以 $f\left[2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right]=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ ，
令 $t=2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ ，则 $x=\frac{t}{2}+\frac{\pi}{3}, x-\frac{\pi}{4}=\frac{t}{2}+\frac{\pi}{12}$ ，
所以 $f(t)=\sin \left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{12}\right)$ ，所以 $f(x)=\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)$ ；
解法二：由已知的函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 逆向变换，
第一步：向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度，得到 $y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(x+\frac{\pi}{12}\right)$ 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到 $y=\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)$ 的图象，
即为 $y=f(x)$ 的图象，所以 $f(x)=\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)$ ．
故选：B．