（本小题满分 12 分） 设 S _ n 表示数列 a_…——2013 高考数学第 17 题答案解析

【解析】本题考查等差数列的前 n 项和公式推导和有关等比数列的证明．，突出对教材重要内容的考查，引导回归教材，重视教材。属于容易题。第一问考查等差数列求和公式推导与证明，回归课本基础，进一步要求学生重视基础知识、基本技能的复习。第二问考察等比数列的证明，本题命题稳中有新，考察数列知识全面。

【答案】：

（I）解法一：设 $\left\{a_{n}\right\}$ 公差为 d，则
$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=a_{1}+\left(a_{1}+d\right)+\left(a_{1}+2 d\right)+\cdots+\left[a_{1}+(n-1) d\right]$
又 $S_{n}=a_{n}+\left(a_{n}-d\right)+\left(a_{n-2}-2 d\right)+\cdots+\left[a_{n}-(n-1) d\right]$
$\therefore 2 S_{n}=n\left(a_{1}+a_{n}\right)$
$\therefore S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}$
解法二：设 $\left\{a_{n}\right\}$ 公差为 d，则 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d \Rightarrow S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$，
$\left\{\begin{array}{l}S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}+a_{n} \\ S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+\cdots+a_{2}+a_{1}\end{array} \Rightarrow 2 S_{n}=\left(a_{1}+a_{n}\right)+\left(a_{2}+a_{n-1}\right)+\cdots+\left(a_{n-1}+a_{1}\right)+\left(a_{n}+a_{1}\right)\right.$

$\Rightarrow 2 S_{n}=n\left(a_{1}+a_{n}\right) \Rightarrow S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d$.
（II）$\left\{a_{n}\right\}$ 是否为等比数列
证明：$a_{1}=1, q \neq 0$，由题知 $q \neq 1$。
$\forall n \in N^{*}, S_{n}=\frac{1-q^{n}}{1-q} \Rightarrow a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}-\frac{1-q^{n}}{1-q}=\frac{q^{n}-q^{n+1}}{1-q}=q^{n}$
$a_{n}=\left\{\begin{array}{ll}1 & n=1 \\ q^{n-1} & n \geq 2\end{array} \Rightarrow a_{n}=q^{n-1}, n \in N^{*}\right.$.
所以，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项 $a_{1}=1$，公比 $q \neq 1$ 的等比数列。
【考点定位】本题考查等差数列的前 n 项和公式推导和有关等比数列的证明．突出对教材重要内容的考查，引导回归教材，重视教材．属于容易题。