如图，在长方体 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_…——2020 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

## 【解析】

## 【分析】

（1）根据正方形性质得 $A C \perp B D$ ，根据长方体性质得 $A C \perp B B_{1}$ ，进而可证 $A C \perp$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ ，即得结果；
（2）只需证明 $E C_{1} / / A F$ 即可，在 $C C_{1}$ 上取点 $M$ 使得 $C M=2 M C_{1}$ ，再通过平行四边形性质进行证明即可．

【详解】

（1）因为长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，所以 $B B_{1} \perp$ 平面 $A B C D \therefore A C \perp B B_{1}$ ，因为长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, A B=B C$ ，所以四边形 $A B C D$ 为正方形 $\therefore A C \perp B D$因为 $B B_{1}$｜$B D=B, B B_{1} , B D \subset$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ ，因此 $A C \perp$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ ，因为 $E F \subset$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ ，所以 $A C \perp E F$ ；
（2）在 $C C_{1}$ 上取点 $M$ 使得 $C M=2 M C_{1}$ ，连 $D M, M F$ ，因为 $D_{1} E=2 E D, D D_{1} / / C C_{1}, D D_{1}=C C_{1}$ ，所以 $E D=M C_{1}, E D / / M C_{1}$ ，所以四边形 $D M C_{1} E$ 为平行四边形，$\therefore D M / / E C_{1}$

因为 $M F / / D A, M F=D A$ ，所以四边形 $M F A D$ 为平行四边形，$\therefore D M / / A F, \therefore E C_{1} / / A F$因此 $C_{1}$ 在平面 $A E F$ 内

【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题．