若 3 sin α-sin β= 10 , α+β= π…——2022 高考数学第 13 题答案解析

【答案】
①．$\frac{3 \sqrt{10}}{10}$
②．$\frac{4}{5}$

【解析】

【分析】先通过诱导公式变形，得到 $\alpha$ 的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出 $\alpha$ ，接下来再求 $\beta$ ．

【详解】 $\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}, \therefore \sin \beta=\cos \alpha$ ，即 $3 \sin \alpha-\cos \alpha=\sqrt{10}$ ，
即 $\sqrt{10}\left(\frac{3 \sqrt{10}}{10} \sin \alpha-\frac{\sqrt{10}}{10} \cos \alpha\right)=\sqrt{10}$ ，令 $\sin \theta=\frac{\sqrt{10}}{10}, \cos \theta=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，
则 $\sqrt{10} \sin (\alpha-\theta)=\sqrt{10}, \therefore \alpha-\theta=\frac{\pi}{2}+2 k \pi, k \in Z$ ，即 $\alpha=\theta+\frac{\pi}{2}+2 k \pi$ ，
$\therefore \sin \alpha=\sin \left(\theta+\frac{\pi}{2}+2 k \pi\right)=\cos \theta=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，
则 $\cos 2 \beta=2 \cos ^{2} \beta-1=2 \sin ^{2} \alpha-1=\frac{4}{5}$ ．
故答案为：$\frac{3 \sqrt{10}}{10} ; \frac{4}{5}$ ．