已知抛物线 y ^ 2 = 4 5 x , F _ 1 ,…——2022 高考数学第 7 题答案解析

【分析】由已知可得出c的值，求出点_A的坐标，分析可得 $\left| A F _ { 1 } \right| = \left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right|$ ，由此可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线 $y ^ { 2 } = 4 \sqrt { 5 } x$ 的准线方程为 $x = - { \sqrt { 5 } }$ ，则 $c = { \sqrt { 5 } }$ ，则 $F _ { 1 } \left( - { \sqrt { 5 } } , 0 \right) , F _ { 2 } \left( { \sqrt { 5 } } , 0 \right)$ 不妨设点A为第二象限内的点，联立 $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle y = - { \frac { b } { a } } x } \\ { \displaystyle x = - c } \end{array} \right.$ ，可得 $\left\{ { \begin{array} { l } { x = - c } \\ { y = { \frac { b c } { a } } } \end{array} } \right.$ ，即点 $A { \Bigg ( } - c , { \frac { b c } { a } } { \Bigg ) }$ 因为 $A F _ { 1 } \perp F _ { 1 } F _ { 2 }$ 且 $\angle F _ { 1 } F _ { 2 } A = { \frac { \pi } { 4 } }$ ，则 $\triangle F _ { 1 } F _ { 2 } .$ A为等腰直角三角形，且 $\left| A F _ { 1 } \right| = \left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right|$ ，即 $\frac { b c } { a } = 2 c$ ，可得 $\displaystyle \frac { b } { a } = 2$ 所以， $\left\{ \begin{array} { l } { { \underline { { b } } } = 2 } \\ { a } \\ { c = \sqrt { 5 } } \\ { c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \end{array} \right.$ ，解得 $\left\{ \begin{array} { l l } { a = 1 } \\ { b = 2 } \\ { c = \sqrt { 5 } } \end{array} \right.$ ，因此，双曲线的标准方程为 $x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$

故选：C.