2023_北京卷
13. 已知命题 <sup>p :</sup>若 $\alpha , \beta$ 为第一象限角，且 $\alpha > \beta$ ，则 $\tan \alpha > \tan \beta$ ．能说明 $p$ 为假命题的一组 $\alpha , \beta$ 的值<sub>为</sub>a = $\beta =$ 【答案】 ①. $\frac { 9 \pi } { 4 }$ ②. $\frac { \pi } { 3 }$
$\frac { 9 \pi } { 4 } ; \frac { \pi } { 3 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解析】
【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
【详解】因为 $f \left( x \right) = \tan x \not \equiv \left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$ 上单调递增，若 $0 < \alpha _ { 0 } < \beta _ { 0 } < \frac { \pi } { 2 }$ ，则 $\tan \alpha _ { 0 } < \tan \beta _ { 0 }$ 取 $\alpha { = } 2 k _ { 1 } \pi { + } \alpha _ { 0 } , \beta { = } 2 k _ { 2 } \pi { + } \beta _ { 0 } , k _ { 1 } , k _ { 2 } \in { \bf Z }$
则 $\tan \alpha = \tan \left( 2 k _ { 1 } \pi + \alpha _ { 0 } \right) = \tan \alpha _ { 0 } , \tan \beta = \tan \left( 2 k _ { 2 } \pi + \beta _ { 0 } \right) = \tan \beta _ { 0 }$ ，即 $\tan \alpha < \tan \beta$ $k _ { 1 } > k _ { 2 }$ ，则 $\alpha - \beta = \left( 2 k _ { 1 } \pi + \alpha _ { 0 } \right) - \left( 2 k _ { 2 } \pi + \beta _ { 0 } \right) = 2 \left( k _ { 1 } - k _ { 2 } \right) \pi + \left( \alpha _ { 0 } - \beta _ { 0 } \right)$ 因为 $2 \left( k _ { 1 } - k _ { 2 } \right) \pi \geq 2 \pi , - \frac { \pi } { 2 } < \alpha _ { 0 } - \beta _ { 0 } < 0$ ，则 $\alpha - \beta = 2 \left( k _ { 1 } - k _ { 2 } \right) \pi + \left( \alpha _ { 0 } - \beta _ { 0 } \right) > \frac { 3 \pi } { 2 } > 0$ 即 $k _ { 1 } > k _ { 2 }$ ，则 $\alpha > \beta$ 不妨取 $k _ { 1 } = 1 , k _ { 2 } = 0 , \alpha _ { 0 } = \frac { \pi } { 4 } , \beta _ { 0 } = \frac { \pi } { 3 }$ ，即 $\alpha = \frac { 9 \pi } { 4 } , \beta = \frac { \pi } { 3 }$ 满足题意.故答案为： $\frac { 9 \pi } { 4 } ; \frac { \pi } { 3 }$