2013_新课标II卷
22．【选修4﹣1几何证明选讲】
如图，CD为 $\triangle \mathsf { A B C } .$ 外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且 ${ \mathsf { B C } } \bullet { \mathsf { A E } } = { \mathsf { D C } } \bullet { \mathsf { A F } }$ ，B、E、F、C四点共圆
（1）证明：CA是 $\triangle \mathsf { A B C }$ 外接圆的直径；
（2）若 $D B = B E = E A$ ，求过B、E、F、C四点的圆的面积与 $\triangle A B C$ 外接圆面积的比值
见解析
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【考点】NC：与圆有关的比例线段
【专题】5B：直线与圆
【分析】（1）已知CD为 $\triangle \mathsf { A B C }$ 外接圆的切线，利用弦切角定理可得 $\angle D C B = \angle A$ 及 ${ \mathsf { B C } } \bullet { \mathsf { A E } } = { \mathsf { D C } } \bullet { \mathsf { A F } }$ ，可知 $\triangle C D B \sim \triangle A E F$ ，于是 $\angle C B D = \angle A F E$
利用B、E、F、C四点共圆，可得 $\angle C F E = \angle D B C$ ，进而得到 $\angle C F E = \angle A F E = 9 0 ^ { \circ }$ 即可证明CA是 $\triangle A B C$ 外接圆的直径；
（2）要求过B、E、F、C四点的圆的面积与 $\triangle \mathsf { A B C }$ 外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，及$\mathsf { D B } \mathrm { = B E }$ ，可得 $C E = D C$ ，利用切割线定理可得 $\mathsf { D C } ^ { 2 } \mathsf { = D B } \bullet \mathsf { D A } , ~ \mathsf { C A } ^ { 2 } \mathsf { = C B } ^ { 2 } \substack { + } \mathsf { B A } ^ { 2 }$ ，都用DB表示即可
【解答】（1）证明： $\because C D$ 为 $\triangle A B C$ 外接圆的切线， $\therefore \angle D C B = \angle A$
∵BC•AE=DC•AF， $\cdot \frac { \mathrm { B C } } { \mathrm { F A } } = \frac { \mathrm { D C } } { \mathrm { E A } }$
∴△CDB∽△AEF， $\therefore \angle C B D = \angle A F E$
∵B、E、F、C四点共圆， $\therefore \angle C F E = \angle D B C , \therefore \angle C F E = \angle A F E = 9 0 ^ { \circ }$
$\therefore \angle C B A = 9 0 ^ { \circ }$ $\therefore C A$ 是 $\triangle A B C$ 外接圆的直径；
（2）连接CE， $\because \angle C B E = 9 0 ^ { \circ }$
∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，得 $C E { = } \mathsf { D C }$
又 $\mathsf { B C } ^ { 2 } = \mathsf { D B } \bullet \mathsf { B A } = 2 \mathsf { D B } ^ { 2 }$
$$ \therefore C A ^ { 2 } = 4 { \mathsf { D } } \mathsf { B } ^ { 2 } + \mathsf { B C } ^ { 2 } = 6 { \mathsf { D } } \mathsf { B } ^ { 2 } . $$
而 ${ \mathsf { D } } { \mathsf { C } } ^ { 2 } { = } { \mathsf { D } } { \mathsf { B } } { \bullet } { \mathsf { D } } { \mathsf { A } } { = } 3 { \mathsf { D } } { \mathsf { B } } ^ { 2 }$
故过B、E、F、C四点的圆的面积与 $\Delta A B C$ 面积的外接圆的面积比值 $= \frac { C E ^ { 2 } } { A C ^ { 2 } } =$
$$ \frac { 3 \tt D B ^ { 2 } } { \tt G D B ^ { 2 } } { = } \frac { 1 } { 2 \tt } . $$
【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键