（5分）如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座的山顶…——2014 高考数学第 16 题答案解析

【考点】 HU ：解三角形．
【专题】12：应用题；58：解三角形．
【分析】 $\triangle A B C$ 中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得
AC ；$\triangle \mathrm{AMC}$ 中，由条件利用正弦定理求得 AM ；Rt $\triangle \mathrm{AMN}$ 中，根据 $\mathrm{MN}=\mathrm{AM} \bullet \sin \angle M A N$ ，计算求得结果。

【解答】解：$\triangle A B C$ 中，$\because \angle B A C=45^{\circ}, \angle A B C=90^{\circ}, B C=100$ ，
$\therefore \mathrm{AC}=\frac{100}{\sin 45^{\circ}}=100 \sqrt{2}$ ．
$\triangle \mathrm{AMC}, \because \angle \mathrm{MAC}=75^{\circ}, \angle \mathrm{MCA}=60^{\circ}$ ，
$\therefore \angle A M C=45^{\circ}$ ，由正弦定理可得 $\frac{A M}{\sin 60^{\circ}}=\frac{100 \sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}}$ ，解得 $A M=100 \sqrt{3}$ ．
Rt $\triangle A M N$ 中，$M N=A M \cdot \sin \angle M A N=100 \sqrt{3} \times \sin 60^{\circ}=150$（m），
故答案为： 150 ．
【点评】本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题．