（5分）设 A_ n B_ n C_ n 的三边长分别为…——2013 高考数学第 12 题答案解析

【考点】82：数列的函数特性； 8 H ：数列递推式．
【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．

【分析】由 $a_{n+1}=a_{n}$ 可知 $\triangle A_{n} B_{n} C_{n}$ 的边 $B_{n} C_{n}$ 为定值 $a_{1}$ ，由 $b_{n+1}+c_{n+1}-2 a_{1}= \frac{1}{2}\left(b_{n}+c_{n}-2 a_{1}\right)$ 及 $b_{1}+c_{1}=2 a_{1}$ 得 $b_{n}+c_{n}=2 a_{1}$ ，则在 $\triangle A_{n} B_{n} C_{n}$ 中边长 $B_{n} C_{n}=a_{1}$ 为定值 ，另两边 $A_{n} C_{n} , A_{n} B_{n}$ 的长度之和 $b_{n}+c_{n}=2 a_{1}$ 为定值，
由此可知顶点 $A_{n}$ 在以 $B_{n} , C_{n}$ 为焦点的椭圆上，根据 $b_{n+1}-c_{n+1}=-\frac{1}{2}\left(b_{n}-c_{n}\right)$ ，得 $b_{n} -c_{n}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left(b_{1}-c_{1}\right)$ ，可知 $n \rightarrow+\infty$ 时 $b_{n} \rightarrow c_{n}$ ，据此可判断 $\triangle A_{n} B_{n} C_{n}$ 的边 $B_{n} C_{n}$的高 $h_{n}$ 随着 $n$ 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案。

【解答】解： $\mathrm{b}_{1}=2 \mathrm{a}_{1}-\mathrm{c}_{1}$ 且 $\mathrm{b}_{1}>\mathrm{c}_{1}, \quad \therefore 2 \mathrm{a}_{1}-\mathrm{c}_{1}>\mathrm{c}_{1}, \quad \therefore \mathrm{a}_{1}>\mathrm{c}_{1}$ ，
$\therefore b_{1}-a_{1}=2 a_{1}-c_{1}-a_{1}=a_{1}-c_{1}>0, \quad \therefore b_{1}>a_{1}>c_{1}$ ，
又 $\mathrm{b}_{1}-\mathrm{c}_{1}<\mathrm{a}_{1}, \quad \therefore 2 \mathrm{a}_{1}-\mathrm{c}_{1}-\mathrm{c}_{1}<\mathrm{a}_{1}, \quad \therefore 2 \mathrm{c}_{1}>\mathrm{a}_{1}, \quad \therefore \mathrm{c}_{1}>\frac{\mathrm{a}_{1}}{2}$ ，
由题意，$b_{n+1}+c_{n+1}=\frac{b_{n}+c_{n}}{2}+a_{n}, \therefore b_{n+1}+c_{n+1}-2 a_{n}=\frac{1}{2}\left(b_{n}+c_{n}-2 a_{n}\right)$ ，

$\therefore \mathrm{b}_{\mathrm{n}}+\mathrm{c}_{\mathrm{n}}-2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=0, \quad \therefore \mathrm{~b}_{\mathrm{n}}+\mathrm{c}_{\mathrm{n}}=2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=2 \mathrm{a}_{1}, \quad \therefore \mathrm{~b}_{\mathrm{n}}+\mathrm{c}_{\mathrm{n}}=2 \mathrm{a}_{1}$ ，
由此可知顶点 $A_{n}$ 在以 $B_{n} , C_{n}$ 为焦点的椭圆上，
又由题意，$b_{n+1}-c_{n+1}=\frac{c_{n}-b_{n}}{2}, \therefore b_{n+1}-\left(2 a_{1}-b_{n+1}\right)=\frac{2 a_{1}-b_{n}-b_{n}}{2}=a_{1}-b_{n}$ ，
$\therefore b_{n+1}-a_{1}=\frac{1}{2}\left(a_{1}-b_{n}\right), \quad \therefore b_{n}-a_{1}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ ，
$\therefore b_{n}=a_{1}+\left(b_{1}-a_{1}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}, \quad c_{n}=2 a_{1}-b_{n}=a_{1}-\left(b_{1}-a_{1}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ ，
$\therefore S_{n}^{2}=\frac{3 a_{1}}{2}\left(\frac{3 a_{1}}{2}-a_{1}\right)\left[\frac{3 a_{1}}{2}-a_{1}-\left(b_{1}-a_{1}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right][$

$$ \left.\frac{3 a_{1}}{2}-a_{1}+\left(b_{1}-a_{1}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right] $$

$=\frac{3}{4} a_{1}{ }^{2}\left[\frac{a_{1}{ }^{2}}{2}-\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(b_{1}-a_{1}\right)^{2}\right]$ 单调递增（可证当 $n=1$ 时 $\frac{a_{1}{ }^{2}}{4}-\left(b_{1}-a_{1}\right)^{2}>0$

故选：B．
【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的＂亮点＂之一。

## 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．