16．（12分）（2011•陕西）如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$\angle \mathrm{ABC}=60^{\circ}, \angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}, \mathrm{AD}$ 是高，沿 AD把 $\triangle \mathrm{ABD}$ 折起，使 $\angle \mathrm{BDC}=90^{\circ}$ 。
（ I ）证明：平面 $\mathrm{ADB} \perp$ 平面 BDC ；
（II）设 E 为 BC 的中点，求 $\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{DB}}$ 夹角的余弦值。
（12分）（2011•陕西）如图，在 ABC 中， ABC…——2011 高考数学第 16 题答案解析
2011_退役省自主命题 (2011·理)
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【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离．
【专题】计算题．
【分析】（ I ）翻折后，直线 AD 与直线 $\mathrm{DC} , \mathrm{DB}$ 都垂直，可得直线与平面 BDC 垂直，再结合 AD 是平面 ADB 内的直线，可得平面 ADB 与平面垂直；
（II）以 D 为原点，建立空间直角坐标系，分别求出 $\mathrm{D} , \mathrm{~B} , \mathrm{C} , \mathrm{~A} , \mathrm{E}$ 的坐标，从而得出向量 $\overrightarrow{\mathrm{AE}} , \overrightarrow{\mathrm{DB}}$ 的坐标，最后根据空间向量夹角余弦公式，计算出 $\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{DB}}$ 夹角的余弦值。
【解答】解：（I）∵ 折起前 AD 是 BC 边上的高，
∴ 当 $\triangle \mathrm{ABD}$ 折起后， $\mathrm{AD} \perp \mathrm{DC}, ~ \mathrm{AD} \perp \mathrm{DB}$ ，
又 $\mathrm{DB} \cap \mathrm{DC}=\mathrm{D}$ ，
$\therefore \mathrm{AD} \perp$ 平面 BDC ，
$\because \mathrm{ADC}$ 平面 ADB
∴ 平面 $\mathrm{ADB} \perp$ 平面 BDC
（II）由 $\angle \mathrm{BDC}=90^{\circ}$ 及（I）知 $\mathrm{DA}, ~ \mathrm{DB}, ~ \mathrm{DC}$ 两两垂直，
不防设 $|\mathrm{DB}|=1$ ，以 D 为坐标原点，
分别以 $\overrightarrow{\mathrm{DB}} , \overrightarrow{\mathrm{DC}} , \overrightarrow{\mathrm{DA}}$ 所在直线 $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易得 $\mathrm{D}(0,0,0), \mathrm{B}(1,0,0), \mathrm{C}(0,3,0)$ ，
$\mathrm{A}(0,0, \sqrt{3}), \mathrm{E}\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 0\right)$ ，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2},-\sqrt{3}\right)$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{DB}}=(1,0,0)$ ，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AE}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{DB}}$ 夹角的余弦值为
$\cos <\overrightarrow{\mathrm{AE}}, \overrightarrow{\mathrm{DB}}>=\frac{\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AE}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{DB}}|}=\frac{\frac{1}{2}}{1 \times \sqrt{\frac{22}{4}}}=\frac{\sqrt{22}}{22}$.
【点评】图中 $\mathrm{DA} , \mathrm{DB} , \mathrm{DC}$ 三条线两两垂直，以 D 为坐标原点建立坐标系，将空间的几何关系的求解化为代数计算问题，使立体几何的计算变得简单。
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