2009_上海卷 (2009·文)
5．如图，若正四棱柱ABCD－
$\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 的底面边长为 2 ，高为 4 ，则异面直线 $\mathrm{BD}_{1}$ 与 AD 所成角的大小是 $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ （结果用反三角函数值表示）．
5．如图，若正四棱柱ABCD－
$\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 的底面边长为 2 ，高为 4 ，则异面直线 $\mathrm{BD}_{1}$ 与 AD 所成角的大小是 $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ （结果用反三角函数值表示）．
$\arctan \sqrt{5}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
5．【答案】 $\arctan \sqrt{5}$
【解析】因为 $\mathrm{AD} \| \mathrm{A}_{1} \mathrm{D}_{1}$ ，异面直线 $\mathrm{BD}_{1}$ 与 AD 所成角就是 $\mathrm{BD}_{1}$ 与 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 所在角，即 $\angle \mathrm{A}_{1} \mathrm{D}_{1} \mathrm{~B}$ ，由勾股定理，得 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}=2 \sqrt{5}, \tan \angle \mathrm{~A}_{1} \mathrm{D}_{1} \mathrm{~B}=\sqrt{5}$ ，所以，$\angle \mathrm{A}_{1} \mathrm{D}_{1} \mathrm{~B}=\arctan \sqrt{5}$ 。