（8）定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x+6)=…——2012 高考数学第 8 题答案解析

【解答】
（5分）（2012 • 山东）定义在 R 上的函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足 $\mathrm{f}(\mathrm{x}+6)=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ ，当 $-3 \leq \mathrm{x}<-1$ 时 ,$f(x)=-(x+2)^{2}$ ，当 $-1 \leq x<3$ 时，$f(x)=x$ ．则 $f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(2012) =(\quad)$
A． 335
B． 338
C． 1678
D． 2012

考点 函数的周期性；函数的值．
：
专题 函数的性质及应用．
：
分析 由 $f(x+6)=f(x)$ 可知，$f(x)$ 是以 6 为周期的函数，可根据题目信息分别求得 $f(1$ ：），$f(2), f(3), f(4), f(5), f(6)$ 的值，再利用周期性即可得答案。
解答 解：$\because f(x+6)=f(x)$ ，
：$\quad \therefore \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是以 6 为周期的函数，
又当 $-1 \leq x<3$ 时，$f(x)=x$ ，
$\therefore \mathrm{f}(1)+\mathrm{f}(2)=1+2=3, \mathrm{f}(-1)=-1=\mathrm{f}(5), \mathrm{f}(0)=0=\mathrm{f}(6)$ ；
当 $-3 \leq x<-1$ 时，$f(x)=-(x+2)^{2}$ ，
$\therefore \mathrm{f}(3)=\mathrm{f}(-3)=-(-3+2)^{2}=-1$ ，
$f(4)=f(-2)=-(-2+2)^{2}=0$ ，
$\therefore \mathrm{f}(1)+\mathrm{f}(2)+\mathrm{f}(3)+\mathrm{f}(4)+\mathrm{f}(5)+\mathrm{f}(6)=1+2-1+0+(-1)+0=1$ ，
$\therefore \mathrm{f}(1)+\mathrm{f}(2)+\mathrm{f}(3)+\ldots+\mathrm{f}(2012)$
$=[\mathrm{f}(1)+\mathrm{f}(2)+\mathrm{f}(3)+. . .+\mathrm{f}(2010)]+\mathrm{f}(2011)+\mathrm{f}(2012)$
$=335 \times 1+\mathrm{f}(1)+\mathrm{f}(2)$
$=338$ ．
故选：B．
点评 本题考查函数的周期，由题意，求得 $\mathrm{f}(1)+\mathrm{f}(2)+\mathrm{f}(3)+\ldots+\mathrm{f}(6)=$ 是关键，考 ：查转化与运算能力，属于中档题。