18．（12分）（2011•陕西）叙述并证明余弦定理．
（12分）（2011•陕西）叙述并证明余弦定理．——2011 高考数学第 18 题答案解析
2011_退役省自主命题 (2011·理)
完整解析 · 逐步详解
【考点】余弦定理．
【专题】证明题．
【分析】先利用数学语言准确叙述出余弦定理的内容，并画出图形，写出已知与求证，然后开始证明。
**方法一**：采用向量法证明，由 a 的平方等于 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ 的平方，利用向量的三角形法则，由 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
表示出 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ，然后利用平面向量的数量积的运算法则化简后，即可得到 $\mathrm{a}^{2}=\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-2 \mathrm{bc} \cos \mathrm{A}$ ，同理可证 $\mathrm{b}^{2}=\mathrm{c}^{2}+\mathrm{a}^{2}-2 \mathrm{cacosB}, \mathrm{c}^{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-2 \mathrm{abcosC}$ ；
**方法二**：采用坐标法证明，方法是以 A 为原点， AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 ，表示出点 C 和点 B 的坐标，利用两点间的距离公式表示出 $|\mathrm{BC}|$ 的平方，化简后即可得到 $\mathrm{a}^{2}= \mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-2 \mathrm{bc} \cos \mathrm{A}$ ，同理可证 $\mathrm{b}^{2}=\mathrm{c}^{2}+\mathrm{a}^{2}-2 \mathrm{cacos} \mathrm{B}, \mathrm{c}^{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-2 \mathrm{abcos} \mathrm{C}$ 。
【解答】解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在 $\triangle A B C$ 中，$a, b, c$ 为 $A, B$ ，$C$ 的对边，有 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$ ， $\mathrm{b}^{2}=\mathrm{c}^{2}+\mathrm{a}^{2}-2 \mathrm{cacos} \mathrm{B}, \mathrm{c}^{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-2 \mathrm{abcos} \mathrm{C}$ 。
证法一：如图，
$\mathrm{a}^{2}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}^{2}=(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}})=\overrightarrow{\mathrm{AC}}^{2}-2 \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}^{2}$
$=\overrightarrow{\mathrm{AC}}^{2}-2|\overrightarrow{\mathrm{AC}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| \cos \mathrm{A}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}^{2}=\mathrm{b}^{2}-2 \mathrm{bc} \cos \mathrm{A}+\mathrm{c}^{2}$
即 $\mathrm{a}^{2}=\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-2 \mathrm{bc} \cos \mathrm{A}$
同理可证 $\mathrm{b}^{2}=\mathrm{c}^{2}+\mathrm{a}^{2}-2 \mathrm{cacosB}, \mathrm{c}^{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-2 \mathrm{abcosC}$ ；
证法二：已知 $\triangle A B C$ 中 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ，以 $A$ 为原点，$A B$ 所在直线为 $x$ 轴建立直角坐标系，
则 $\mathrm{C}(\mathrm{b} \cos \mathrm{A}, ~ \mathrm{~b} \sin \mathrm{~A}), ~ \mathrm{~B}(\mathrm{c}, ~ 0)$ ，
$\therefore \mathrm{a}^{2}=|\mathrm{BC}|^{2}=(\mathrm{b} \cos \mathrm{A}-\mathrm{c})^{2}+(\mathrm{b} \sin \mathrm{A})^{2}=\mathrm{b}^{2} \cos ^{2} \mathrm{~A}-2 \mathrm{bc} \cos \mathrm{A}+\mathrm{c}^{2}+\mathrm{b}^{2} \sin ^{2} \mathrm{~A}=\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-2 \mathrm{bc} \cos \mathrm{A}$ ，同理可证 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B, c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C$ ．
【点评】此题考查学生会利用向量法和坐标法证明余弦定理，以及对命题形式出现的证明题，要写出已知求证再进行证明，是一道基础题．
✅ 来源：2011年 · 全国 · 2011_退役省自主命题 (2011·理) · 第 18 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验