2012_退役省自主命题 (2012·理)
6．设 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ 是正数，且 $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}=10, \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}=40, \mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{cz}=20$ ，则 $\frac{a+b+c}{x+y+z}=($
A．$\frac{1}{4}$
B．$\frac{1}{3}$
C．$\frac{1}{2} \mathrm{D}, \frac{3}{4}$
【答案】C
【解析】由于 $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \geq(a x+b y+c z)^{2}$ ，等号成立当且仅当 $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=t$ ，则 $\mathrm{a}=\mathrm{t} x \mathrm{~b}=\mathrm{t} \mathrm{y} \mathrm{c}=\mathrm{t} \mathrm{z}, t^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=10$ ，所以由题知 $t=1 / 2$ ，又 $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=\frac{a+b+c}{x+y+z}$ ，所以 $\frac{a+b+c}{x+y+z}=t=1 / 2$ ，答案选 C
【考点定位】本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件．