（14分）如图，在四棱锥 P-A B C D 中，平面 P…——2016 高考数学第 17 题答案解析

【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5Q：立体几何．
【分析】（ I ）由已知结合面面垂直的性质可得 $A B \perp$ 平面 $P A D$ ，进一步得到 $A B \perp P D$ ，再由 $P D \perp P A$ ，由线面垂直的判定得到 $P D \perp$ 平面 $P A B$ ；
（II）取 $A D$ 中点为 $O$ ，连接 $C O, P O$ ，由已知可得 $C O \perp A D, P O \perp A D$ ．以 $O$ 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得 $\mathrm{P}(0,0,1), \mathrm{B}(1,1,0), \mathrm{D}(0$ ， $-1,0), \mathrm{C}(2,0,0)$ ，进一步求出向量 $\overrightarrow{\mathrm{PB}} , \overrightarrow{\mathrm{PD}} , \overrightarrow{\mathrm{PC}}$ 的坐标，再求出平面 PCD 的法向量 $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ ，设 PB 与平面 PCD 的夹角为 $\theta$ ，由 $\sin \theta=\left|\cos <\overrightarrow{\mathrm{n}}, \overrightarrow{\mathrm{PB}}>\left|=\left|\frac{\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{n}}||\overrightarrow{\mathrm{PB}}|}\right|\right.\right.$ 求得直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；
（III）假设存在 $M$ 点使得 $B M / /$ 平面 $P C D$ ，设 $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AP}}=\lambda, M\left(0, \mathrm{y}_{1}, \mathrm{z}_{1}\right)$ ，由 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AP}}$可得 $M(0,1-\lambda, \lambda), \overrightarrow{B M}=(-1,-\lambda, \lambda)$ ，由 $B M / /$ 平面 $P C D$ ，可得
$\overrightarrow{B M} \cdot \vec{n}=0$ ，由此列式求得当 $\frac{A M}{A P}=\frac{1}{4}$ 时，$M$ 点即为所求。
【解答】（ I ）证明：∵ 平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D$ ，且平面 $P A D \cap$ 平面 $A B C D=A D$ ，且 $A B \perp A D, A B \subset$ 平面 $A B C D$ ，
$\therefore \mathrm{AB} \perp$ 平面 PAD，
$\because \mathrm{PDC} \subset$ 平面 PAD ，
$\therefore \mathrm{AB} \perp \mathrm{PD}$ ，
又 $P D \perp P A$ ，且 $P A \cap A B=A$ ，

$\therefore P D \perp$ 平面 $P A B$ ；
（II）解：取 AD 中点为 O ，连接 $\mathrm{CO}, \mathrm{PO}$ ，
$\because C D=A C=\sqrt{5}$ ，
$\therefore \mathrm{CO} \perp \mathrm{AD}$ ，
又 $\because P A=P D$ ，
$\therefore \mathrm{PO} \perp \mathrm{AD}$ ．
以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则 $\mathrm{P}(0,0,1), \mathrm{B}(1,1,0), \mathrm{D}(0,-1,0), \mathrm{C}(2,0,0)$ ，
则 $\overrightarrow{\mathrm{PB}}=(1,1,-1), \overrightarrow{\mathrm{PD}}=(0,-1,-1), \overrightarrow{\mathrm{PC}}=(2,0,-1), \overrightarrow{\mathrm{CD}}=(-2,-1,0)$ ，
设 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}, 1\right)$ 为平面 PCD 的法向量，
则由 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}=0\end{array}\right.$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}-\mathrm{y}_{0}-1=0 \\ 2 \mathrm{x}_{0}-1=0\end{array}\right.$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\frac{1}{2},-1,1\right)$ ，
设 $P B$ 与平面 $P C D$ 的夹角为 $\theta$ ，则 $\sin \theta=\left|\cos <\vec{n}, \overrightarrow{P B}>\left|=\left|\frac{\vec{n} \cdot \overrightarrow{P B}}{|\vec{n}||\overrightarrow{P B}|}\right|=\right.\right.$

$$ \left|\frac{\frac{1}{2}-1-1}{\sqrt{\frac{1}{4}+1+1} \times \sqrt{3}}\right|=\frac{\sqrt{3}}{3} $$

（III）解：假设存在 $M$ 点使得 $B M / /$ 平面 $P C D$ ，设 $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AP}}=\lambda, M\left(0, \mathrm{y}_{1}, \mathrm{z}_{1}\right)$ ，
由（II）知， $\mathrm{A}(0,1,0), \mathrm{P}(0,0,1), \overrightarrow{\mathrm{AP}}=(0,-1,1), \mathrm{B}(1,1,0)$ ，

$$ \overrightarrow{\mathrm{AM}}=\left(0, y_{1}-1, z_{1}\right), $$

则有 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AP}}$ ，可得 $M(0,1-\lambda, \lambda)$ ，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BM}}=(-1,-\lambda, \lambda)$ ，
$\because \mathrm{BM} / /$ 平面 $\mathrm{PCD}, \overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\frac{1}{2},-1,1\right)$ 为平面 PCD 的法向量，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}=0$ ，即 $-\frac{1}{2}+\lambda+\lambda=0$ ，解得 $\lambda=\frac{1}{4}$ ．
综上，存在点 $M$ ，即当 $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AP}}=\frac{1}{4}$ 时，$M$ 点即为所求．

【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，训练了存在性问题的求解方法，建系利用空间向量求解降低了问题的难度，属中档题．